Complexa

por vitorkh Sáb 01 Dez 2012, 14:37

gabarito c

Uma caixa P, em repouso, parte de A e desce a cunha, onde o coeficiente de atrito cinético vale μ = 0,2. Ao chegar no ponto B, colide com a caixa Q, que se encontra inicialmente no repouso. Ocorrido o choque, a caixa Q entra em movimento no plano horizontal, desliza sem atritos sobre a parte semicircular e por fim cai ao ponto B, de onde saiu.
Determine a altura H.
É dado que:
Coeficiente de restituição entre a caixa P e a caixa B vale 0,8.
Massa da caixa P vale 10kg.
Massa da caixa Q vale 2kg.
A resistência do ar e as dimensões dos blocos são desprezíveis.
A pista horizontal não tem atrito.
As unidades de de distância estão em metros.
A aceleração da gravidade local vale 10 m/s².

a) 3,2m
b) 3,6m
c) 4,0m
d) 4,2m
e) 4,5m

Complexa 76496978

por **denisrocha** Sáb 01 Dez 2012, 15:17

$\mathbf{P \ batendo \ em \ Q \ no \ ponto \ B:} \\ M_{p}\cdot V_{p_i} + M_{q}\cdot V_{q_i} = M_{p}\cdot V_{p_f} + M_{q}\cdot V_{q_f} \\ \\ \mathbf {Como \ V_{q_i} = 0}: \\ M_{p}\cdot V_{p_i} = M_{p}\cdot V_{p_f} + M_{q}\cdot V_{q_f} \\ \\ \textbf{Atribuindo \ os \ valores \ das \ massas:} \\ 10\cdot V{p_i} = 10 \cdot V{p_f} + 2\cdot V_{q_f} \rightarrow 5\cdot V_{p_i} = 5\cdot V_{p_f} + V_{q_f} \\ \\ \mathbf{Usando \ o \ coeficiente \ de \ restituição:} \\ e = \frac{V_{q_f} - V_{p_f}}{V_{p_i}} \rightarrow \frac{4}{5}\cdot V_{p_i} = V_{q_f} - V_{p_f} \rightarrow 4\cdot V_{p_i} = 5\cdot V_{q_f} - 5\cdot V_{p_f}$

$\mathbf{Tempo \ pro \ bloco \ Q \ cair \ da \ altura \ 5m \ (2 \ raios)}: \\ 2\cdot 5 = g\cdot t^2 \rightarrow t = 1s \\ \\ \mathbf{Calculo \ da \ velocidade \ horizontal \ V \ do \ bloco \ Q \ no \ ponto \ D, } \\ \mathbf{considerando \ o \ ponto \ C \ colinear \ à \ D:} \\ 2\sqrt{11} = V\cdot t \rightarrow V = 2\sqrt{11} \ m/s \\ \\ \mathbf{Conservação \ de \ energia \ mecânica \ do \ bloco \ Q \ do \ ponto \ B \ (inicial)} \\ \mathbf{ao \ ponto \ D \ (final), \ adotando \ o \ solo \ como \ referencial:} \\ E_{POT_i} + E_{CIN_i} = E_{POT_f} + E_{CIN_f} \\ 0 + \frac{1}{2}\cdot M_q\cdot V_{q_f}^2 = M_{q}\cdot g \cdot (2\cdot 2,5) + \frac{1}{2}\cdot M_q\cdot V^2 \\ V_{q_f}^2 = 100 + 44 = 144, \ \therefore V_{q_f} = 12 \ m/s$

$\mathbf{Voltando \ às \ duas \ primeiras \ relações \ encontradas \ entre \ as \ velocidades,} \\ \mathbf{ \ some \ elas:} \\ 9\cdot V_{p_i} = 6\cdot V_{q_f} \\ \\ \mathbf{Use \ a \ última \ relação:} \\ 9\cdot V_{p_i} = 6\cdot 12 \rightarrow V_{p_i} = 8 \ m/s$

$\\ \\ \mathbf{Distribua \ as \ forças \ que \ agem \ no \ bloco \ P \ durante \ a \ trajetória \ na \ rampa:} \\ Forças \ horizontais: \ P\cdot sen\theta \ e \ F_{AT} \\ Forças \ na \ vertical: \ N = P\cdot cos\theta \\ Então: F_{AT} = \mu \cdot N = \mu \cdot P\cdot cos\theta$

$\mathbf{Conservação \ de \ energia \ mecânica \ no \ bloco \ P \ durante \ seu} \\ \mathbf{trajeto \ do \ ponto \ A \ até \ bater \ em \ B:} \\ E_{POT_i} + E_{CIN_i} = E_{POT_f} + E_{CIN_f} + E_{DISSIPADA}\\ M_p\cdot g\cdot h = \frac{1}{2}\cdot M_p\cdot V_{p_i}^2 + F_{AT}\cdot h\cdot cossec\theta \\ M_p\cdot g\cdot h = \frac{1}{2}\cdot M_p\cdot V_{p_i}^2 + \mu\cdot M_p\cdot g\cdot cos\theta \cdot h\cdot cossec\theta \\ \\$

$\mathbf{Corta \ as \ massas \ e \ atribui \ os \ valores:} \\ 10\cdot h = 32 + \left (\frac{2}{10} \right )\cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot h \cdot \sqrt{2} \\ \\ \therefore \mathbf{h = 4m}$

Если вы не понимаете, иди сюда hahaha

por **Leonardo Sueiro** Sáb 01 Dez 2012, 15:27

Vamos calcular a velocidade com que o bloco P atinge o bloco Q.

Conservação da quantidade de energia:

mp.g.H = mv^2/2 + energia dissipada

energia dissipada = Fat.d
energia dissipada = 0,2.N.d
energia dissipada = 0,2.mg.cos45.H/sen45
energia dissipada = 0,2.mg.cotg45H
energia dissipada = 20H J

mp.g.H = mv^2/2 + energia dissipada
100H = 5v^2 + 20H
80H = 5v^2
16H = v^2
v = 4√H m/s

Conservação da quantidade de movimento:

0,8 = (Vq - Vp)/4√H
3,2√H = Vq - Vp
16√H = 5Vq - 5Vp(1)

40√H = 10Vp + 2Vq
20√H = 5Vp + Vq(2)

2 e 1
36√H = 6Vq
Vq = 6√H m/s

Vamos calcular a velocidade de Q no ponto mais alto da trajetória semi-circular:

mvq^2/2 = mgh + mvqf^2/2
vq^2/2 = gh + vqf^2/2

18H = 50 + Vqf^2/2

Vqf^2 = 36H - 100
Vqf = √(36H - 100) m/s

No ponto mais alto da trajetória semi-circular a velocidade vertical é nula. Vamos calcular o tempo gasto para chegar em B:

d = 0,5g.t^2
5 = 5t^2
t = 1s

Esse tempo foi o tempo percorrido pela velocidade horizontal

√(36H - 100) = 2√11/1
(√(36H - 100))^2 = (2√11)^2

36H - 100 = 44
36H = 144

H = 4m

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