Igualdade de polinomio

por Fernanda Martins Qua 28 Nov 2012, 15:24

Determine as constantes A,B e C para que a igualdade 1/(x-1)(x²-2x+2) = A/x-1 + Bx+C/x²-2x+2 seja satisfeita para todo número real x diferente 1

por aprentice Qua 28 Nov 2012, 16:17

É (Bx+C)/(x²-2x+2) ou Bx+C/(x²-2x+2)?

por Fernanda Martins Qua 28 Nov 2012, 17:24

a segunda opção

por aprentice Qua 28 Nov 2012, 18:19

P(x) = A(x² - 2x + 2) + Bx(x - 1)(x² - 2x + 2) + C(x - 1)
P(x) ≡ 1 (note que é uma congruencia entre polinomios, e não uma simples igualdade, já que a igualdade é válida para qualquer valor de x (independe de x)).
Se independe de x, segue que B = 0 pois só assim eliminamos o coeficiente de x^4.
Então:
A(x² - 2x + 2) + C(x - 1) ≡ 1
Pela razão acima: A = 0, C = 0

Não existem A,B,C que satisfaçam a relação acima.

por **Elcioschin** Qua 28 Nov 2012, 18:51

Acho que a Fernanda errou ao apontar a 2ª opção ----> o correto deve ser a 1ª opção:

1/(x-1)(x²-2x+2) = A/x-1 + (Bx+C)/(x²-2x+2)

1/(x-1)(x²-2x+2) = [A(x² - 2x + 2) + (Bx + C)*(x - 1)]/(x-1)*(x²-2x+2)

1/(x-1)(x²-2x+2) = [(A + B)x² + (C - B - 2A)x + (2A - C))]/(x-1)*(x²-2x+2)

Igualando termos do numerador:

A + B = 0 -----> - B = A
C - B - 2A = 0 ----> C + A - 2A = 0 ---> C = A
2A - C = 1 ----> 2A - A = 1 ----> A = 1

A = 1, B = -1, C = 1