Parábola
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Parábola
Traçar o esboço do gráfico e obter a equação da parábola que satisfaça as condições: V(-2,3), Foco F(-2,1). Questão simples, alguém poderia resolve-la ?
Everton Maia- Padawan
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Re: Parábola
O vértice e o foco têm a mesma abscissa (-2), logo esta é uma parábola com eixo de simetria vertical; ou seja, é parábola de uma função y=f(x) -- não é x=f(y), que teria o eixo horizontal.
Ainda, como a ordenada do foco está abaixo da do vértice, a parábola terá concavidade para baixo; portanto a reta diretriz fica acima do vértice.
O vértice fica a meio caminho entre o foco e a reta diretriz. Então:
yV - yF = yreta - yV
3 - 1 = yreta - 3 -----> yreta = 5
Logo, a reta diretriz é: y=5
Fazemos um esboço para facilitar o raciocínio (a reta diretriz e o foco estão em branco).
Escolhemos um ponto genérico (x,y) da parábola. A parábola tem a propriedade de que "a distância de qualquer ponto à reta diretiz é igual a distância deste ponto ao foco". Equacionando, vem:
5 - y = √[(x+2)² + (y-1)²] ..................... elevando os dois membros ao quadrado
25 - 10y + y² = x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1
8y = -x² - 4x + 20
y = -x²/8 - x/2 + 5/2 .......... eq. da parábola
Note que, conforme esperado, o coeficiente de x² é negativo, o que indica concavidade para baixo.
Porém o esboço para ser completo deve indicar os seguintes pontos notáveis: vértice (este foi dado); raízes reais (se houver); traço com as ordenadas.
traço com eixo 0y
p/ x=0 -----> y = 5/2
raízes
para facilitar as contas, faço: y = (-1/8)(x²+4x-20). E opero apenas com o segundo parênteses.
∆ = 16+80 = 96 = 2².2².2.3
x = (-4 ± 4√6)/2 = -2 ± 2√6
x' = -2 - 2√6 ≈ -6,9
x" = -2 + 2√6 ≈ +2,9
Ainda, como a ordenada do foco está abaixo da do vértice, a parábola terá concavidade para baixo; portanto a reta diretriz fica acima do vértice.
O vértice fica a meio caminho entre o foco e a reta diretriz. Então:
yV - yF = yreta - yV
3 - 1 = yreta - 3 -----> yreta = 5
Logo, a reta diretriz é: y=5
Fazemos um esboço para facilitar o raciocínio (a reta diretriz e o foco estão em branco).
Escolhemos um ponto genérico (x,y) da parábola. A parábola tem a propriedade de que "a distância de qualquer ponto à reta diretiz é igual a distância deste ponto ao foco". Equacionando, vem:
5 - y = √[(x+2)² + (y-1)²] ..................... elevando os dois membros ao quadrado
25 - 10y + y² = x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1
8y = -x² - 4x + 20
y = -x²/8 - x/2 + 5/2 .......... eq. da parábola
Note que, conforme esperado, o coeficiente de x² é negativo, o que indica concavidade para baixo.
Porém o esboço para ser completo deve indicar os seguintes pontos notáveis: vértice (este foi dado); raízes reais (se houver); traço com as ordenadas.
traço com eixo 0y
p/ x=0 -----> y = 5/2
raízes
para facilitar as contas, faço: y = (-1/8)(x²+4x-20). E opero apenas com o segundo parênteses.
∆ = 16+80 = 96 = 2².2².2.3
x = (-4 ± 4√6)/2 = -2 ± 2√6
x' = -2 - 2√6 ≈ -6,9
x" = -2 + 2√6 ≈ +2,9
Medeiros- Grupo
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Re: Parábola
Aproveite para aprender as definições das curvas importantes que são obtidas a partir de cortes planos em um cone circular reto, as famosas seções cônicas...
Vamos logo à parábola...
A interseção de um plano paralelo à geratriz de um cone circular reto resulta numa parábola:
Essa linha curva tem umas propriedades interessantes:
(a) A distância entre um ponto P qualquer dela e seu foco F é igual à distância entre esse mesmo ponto P e uma certa reta L, sendo essa reta denominada diretriz.
FP₁ = P₁Q₁ , FP₂ = P₂Q₂, ..., FPո = PոQո
Vamos dar nomes às entidaders marcantes dessa curva:
F := Foco
V := Vértice
FV := Distância Focal = f
Reta que contém FV := Eixo de simetria
L := Corda Perpendicular ao Eixo de Simetria (a diretriz é uma reta paralela a uma corda dessa, mas com a propriedade (a) ... )
(b) Os segmentos FP₁Q₁, FP₂Q₂,..., FPոQո têm o mesmo comprimento.
Essas propriedades são importantes, inclusive no nosso dia-a-dia.
Por esse motivo é que são usados espelhos parabólicos nos faróis dos veículos...
Como a luz é espertamente preguiçosa, sempre percorrendo o caminho mais curto, coloca-se a lâmpada no Foco e os raios luminosos se refletem na superfície parabólica e saem formando um feixe de raios paralelos.
As antenas parabólicas usam a mesma propriedade, só que de forma inversa: recebe "raios paralelos" e os refletem, concentrando-os no foco.
Lançamentos de projéteis sob a ação da gravidade constante têm trajetórias parabólicas. Basta pensar nos esguichos de mangueiras e outros assemelhados...
As funções do tipo:
f(x) = ax² + bx + c
Têm como gráfico cartesiano representativo uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo Y, o eixo das ordenadas f(x).
Agora, vamos dissecar essa marcante curva.
Partindo da definição do grande mestre Pappus:
"Parábola é o lugar geométrico (LG) dos pontos que equidistam do seu foco e de sua diretriz."
Colocando a parábola como nas figuras anteriores, com seu foco no eixo Y e seu vértice na interseção de X e Y, a origem:
F = (0; f)
V = (0; 0)
Como FV = VQօ ( Propriedade (a) )
Reta Diretriz: y = -f
Temos, traduzindo a definição de Pappus em matematiquês:
Onde:
Distância de um ponto qualquer (x;y) à diretriz: y + f
Distância de um ponto qualquer (x;y) ao foco: √( x² + (y -f)² )
O que resulta em:
y + f = √( (y - f)² + x² )
Elevando-se ao quadrado ambos os lados:
y² + 2fy + f² = y² - 2fy + f² + x²
4fy = x²
Para f ≠ 0 :
y = x²/4f
Agora que chegamos — com a parábola nessa posição especial — à equação mais simples, vamos colocar a parábola com seu vértice numa posição qualquer, V(h; k).
Uma simples TRANSLAÇÂO de eixos:
4f(y - k) = (x - h)²
4f(y - k) = x² - 2hx + h²
y - k = x²/4f - 2hx/4f + h²/4f
Finalmente:
y = x²/4f - hx/2f + h²/4f + k
Que é a equação de uma parábola com eixo de simetria vertical, vértice V(h; k) e distância focal f.
Se quisermos trocar o eixo para o horizontal, basta trocar "x" por "y".
E se chamarmos:
1/4f ≡ a
-h/2f ≡ b
h²/4f + k ≡ c
Chegamos à conhecida forma padrão:
y = ax² + bx + c
Creio que agora fica fácil...
Esboce a parábola.
Verifique se seu eixo de simetria é vertical ou horizontal...
Aplique seu conhecimento.
Vamos Lá ! Agora é com você !
Vamos logo à parábola...
A interseção de um plano paralelo à geratriz de um cone circular reto resulta numa parábola:
Essa linha curva tem umas propriedades interessantes:
(a) A distância entre um ponto P qualquer dela e seu foco F é igual à distância entre esse mesmo ponto P e uma certa reta L, sendo essa reta denominada diretriz.
FP₁ = P₁Q₁ , FP₂ = P₂Q₂, ..., FPո = PոQո
Vamos dar nomes às entidaders marcantes dessa curva:
F := Foco
V := Vértice
FV := Distância Focal = f
Reta que contém FV := Eixo de simetria
L := Corda Perpendicular ao Eixo de Simetria (a diretriz é uma reta paralela a uma corda dessa, mas com a propriedade (a) ... )
(b) Os segmentos FP₁Q₁, FP₂Q₂,..., FPոQո têm o mesmo comprimento.
Essas propriedades são importantes, inclusive no nosso dia-a-dia.
Por esse motivo é que são usados espelhos parabólicos nos faróis dos veículos...
Como a luz é espertamente preguiçosa, sempre percorrendo o caminho mais curto, coloca-se a lâmpada no Foco e os raios luminosos se refletem na superfície parabólica e saem formando um feixe de raios paralelos.
As antenas parabólicas usam a mesma propriedade, só que de forma inversa: recebe "raios paralelos" e os refletem, concentrando-os no foco.
Lançamentos de projéteis sob a ação da gravidade constante têm trajetórias parabólicas. Basta pensar nos esguichos de mangueiras e outros assemelhados...
As funções do tipo:
f(x) = ax² + bx + c
Têm como gráfico cartesiano representativo uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo Y, o eixo das ordenadas f(x).
Agora, vamos dissecar essa marcante curva.
Partindo da definição do grande mestre Pappus:
"Parábola é o lugar geométrico (LG) dos pontos que equidistam do seu foco e de sua diretriz."
Colocando a parábola como nas figuras anteriores, com seu foco no eixo Y e seu vértice na interseção de X e Y, a origem:
F = (0; f)
V = (0; 0)
Como FV = VQօ ( Propriedade (a) )
Reta Diretriz: y = -f
Temos, traduzindo a definição de Pappus em matematiquês:
Onde:
Distância de um ponto qualquer (x;y) à diretriz: y + f
Distância de um ponto qualquer (x;y) ao foco: √( x² + (y -f)² )
O que resulta em:
y + f = √( (y - f)² + x² )
Elevando-se ao quadrado ambos os lados:
y² + 2fy + f² = y² - 2fy + f² + x²
4fy = x²
Para f ≠ 0 :
y = x²/4f
Agora que chegamos — com a parábola nessa posição especial — à equação mais simples, vamos colocar a parábola com seu vértice numa posição qualquer, V(h; k).
Uma simples TRANSLAÇÂO de eixos:
4f(y - k) = (x - h)²
4f(y - k) = x² - 2hx + h²
y - k = x²/4f - 2hx/4f + h²/4f
Finalmente:
y = x²/4f - hx/2f + h²/4f + k
Que é a equação de uma parábola com eixo de simetria vertical, vértice V(h; k) e distância focal f.
Se quisermos trocar o eixo para o horizontal, basta trocar "x" por "y".
E se chamarmos:
1/4f ≡ a
-h/2f ≡ b
h²/4f + k ≡ c
Chegamos à conhecida forma padrão:
y = ax² + bx + c
Creio que agora fica fácil...
Esboce a parábola.
Verifique se seu eixo de simetria é vertical ou horizontal...
Aplique seu conhecimento.
Vamos Lá ! Agora é com você !
rihan- Estrela Dourada
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Huan_- Recebeu o sabre de luz
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Localização : Brasil
Re: Parábola
Muito obrigado Medeiros, e mais obrigado ainda ao rihan, pelo que o professor explicou tava complicado de entender, mais agora facilitou minha vida rs
Abraços
Abraços
Everton Maia- Padawan
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rihan- Estrela Dourada
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