Questão UFRJ
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Questão UFRJ
Existe um único b ∈ R para o qual a reta de equação y = 2x + b divide o triângulo de vértices A(0,0) ,B(1,0) e C(0,1) em dois polígonos de áreas iguais.Determine "b"
- Spoiler:
- Resposta: √3-2
NegoAlbino- Iniciante
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Re: Questão UFRJ
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Re: Questão UFRJ
Reta que passa por B e por C ----> y = - x + 1
Reta dada ----> y = 2.x+ b
Desenhe as duas retas, de modo que a reta y = 2x + b passe pelo ponto D (xD, 0) estando D entre A e B
Seja P (xP, yP) o ponto de encontro das duas retas
Ponto de encontro 2.xP + b = - xP + 1 ----> 3.xP = 1 - b ----> xP = (1 - b)/2
yP = - xP + 1 ----> yP = - (1 - b)/2 + 1----> yP = (b + 2)/3
y = 2x + b -----> Para y = 0 -----> 0 = 2xD + b ----> xD = - b/2
BD = xB - xD ----> BD = 1 - (-b/2) ----> BD = (b + 2)/2
Área do triângulo BDP ----> S = BD*yP/2 ----> S = [(b + 2)/2]*[(b + 2)/3]/2 ----> S = (b + 2)²/12
Área do triângulo ABC -----> S' = AB*AC/2 ----> S' = 1*1/2 ----> S' = 1/2
2*S = S' ----> 2*(b + 2)²/12 -----> 1/2 ----> (b + 2)² = 3 ----> b + 2 = \/3 ----> b = \/3 - 2
Reta dada ----> y = 2.x+ b
Desenhe as duas retas, de modo que a reta y = 2x + b passe pelo ponto D (xD, 0) estando D entre A e B
Seja P (xP, yP) o ponto de encontro das duas retas
Ponto de encontro 2.xP + b = - xP + 1 ----> 3.xP = 1 - b ----> xP = (1 - b)/2
yP = - xP + 1 ----> yP = - (1 - b)/2 + 1----> yP = (b + 2)/3
y = 2x + b -----> Para y = 0 -----> 0 = 2xD + b ----> xD = - b/2
BD = xB - xD ----> BD = 1 - (-b/2) ----> BD = (b + 2)/2
Área do triângulo BDP ----> S = BD*yP/2 ----> S = [(b + 2)/2]*[(b + 2)/3]/2 ----> S = (b + 2)²/12
Área do triângulo ABC -----> S' = AB*AC/2 ----> S' = 1*1/2 ----> S' = 1/2
2*S = S' ----> 2*(b + 2)²/12 -----> 1/2 ----> (b + 2)² = 3 ----> b + 2 = \/3 ----> b = \/3 - 2
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
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