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TAXA EFETIVA

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Mensagem por ivomilton Ter 06 Nov 2012, 13:29

Por favor, alguém sabe qual a fórmula para encontrar a taxa efetiva na seguinte questão?
"Você fez um leasing de um veículo junto a um banco no valor de R$ 15.000,00, pelo qual terá que pagar TAC (Taxa de Abertura de Crédito) de R$ 400,00 e IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) de R$ 300,00. O prazo acertado foi de 48 meses e a taxa de 2% ao mês. Calcule o valor das parcelas e a taxa nas seguintes alternativas:

a) Alternativa A: TAC e IOF descontados do principal;
Resposta do gabarito: Parcela: 489,03 e Taxa: 2,24%

b) Alternativa B: Receber os R$ 15.000,00 líquidos e financiar também a TAC e IOF.
Resposta do gabarito: Parcela: 511,85 e e taxa: 2,23%"

Muito obrigado!
ivomilton
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TAXA EFETIVA Empty Re: TAXA EFETIVA

Mensagem por rihan Seg 12 Nov 2012, 07:42

Não é problema do EM, mas vamos lá !

V[0] = 15 000 = Vo = PV = VP

V[48] = 0 = FV = VF

P = PMT = PGTO

TAC = 400

IOF = 300

n = 48

jm = 2% am = i = j

xm = 1 + j = x = 1,02


a) TAC = 400 e IOF = 300 descontados do principal;

Parcelas ?

Única equação da MatFin:

Vo.x^48 - P.x^47 - P.x^46 ... - P.x - P = V[48] = 0

Vo.x^48 = P(x^47 + x^46 ... + x + 1)

Vo.x^48 = P(x^48 - 1)/(x - 1)

P = Vo.x^48 (x - 1) /(x^48 - 1)

x^48 = 1,02^48 ≈ 2,58707

P = 15000 . 2,58707 . 0,02 / 1,58707

P = 489,03

Como o TAC e IOF foram descontados, é como se tivesse sido recebido o capital de:

Vo'= 15 000 - TAC - IOF = 15000 - 400 - 300 = 14 300

E sendo paga parcelas amortizando um capital de 15 000

Logo, a taxa efetiva agora é dada pela solução da raíz real do polinômio:

Vo'.x^48 - P.x^47 - P.x^46 ... - P.x - P = 0

14300x^48 - 489,03.x^47 - 489,03x^46 - ... - 489,03x - 489,03 = 0

Isto é, um polinômio de 48º grau, que, obviamente, não tem "fórmula", só podendo ser resolvido por:

1) Métodos numéricos como o de Newton ou por "tentativa e erro".

2) Planilha eletrônica

3) Calculadora financeira

4) Métodos gráficos aproximativos

5) Interpolações em tabelas financeiras após procura reversa.


Vamos lá !


1) Newton

As calculadoras e as planilhas o usam...


2) Planilha BrOffice Calc

Em uma célula qualquer insere-se a função TAXA (ou equivalente..) com os dados referidos:

TAXA(n; PGTO; VP; VF)

Respeitando-se os sinais (capital e parcelas com sinais opostos)

TAXA EFETIVA 4bvCAAAAABJRU5ErkJggg==

Plim ! Prontinho.


3) HP-12C


Limpa todos os registradores.

48 --> n

2 --> i

14 300 --> PV

489.03 --> CHS --> PMT

0 --> FV

i --> 2.24%

Assista ao vídeo:



4) Gráfico

TAXA EFETIVA 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

b) TAC = 400 e IOF = 300 acrescidos ao principal;

Parcelas ?

P = Vo.x^48 (x - 1) /(x^48 - 1)

Vo = 15 000 + TAC + IOF = 15 000 + 400 + 300 = 15 700

j = 2% am = 0,02

x = 1 + j = 1,02

P = 15700 . 2,58707 . 0,02 / 1,58707

P = 511,85

Agora vamos calcular a taxa efetiva, considerando-se essa parcela, mas financiando-se somente 15 000.

n = 48

j = ?

Vo' = PV = VP = 15 000

PMT = PGTO = 511,85

VF = FV = 0

Pela planilha: 2,23%




Caso alguém queira ver como é o Método de Newton, o trabalhoso, eu faço um outro post...

rihan
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Mensagem por ivomilton Seg 12 Nov 2012, 09:11

rihan escreveu:Não é problema do EM, mas vamos lá !

V[0] = 15 000 = Vo = PV = VP

V[48] = 0 = FV = VF

P = PMT = PGTO

TAC = 400

IOF = 300

n = 48

jm = 2% am = i = j

xm = 1 + j = x = 1,02


a) TAC = 400 e IOF = 300 descontados do principal;

Parcelas ?

Única equação da MatFin:

Vo.x^48 - P.x^47 - P.x^46 ... - P.x - P = V[48] = 0

Vo.x^48 = P(x^47 + x^46 ... + x + 1)

Vo.x^48 = P(x^48 - 1)/(x - 1)

P = Vo.x^48 (x - 1) /(x^48 - 1)

x^48 = 1,02^48 ≈ 2,58707

P = 15000 . 2,58707 . 0,02 / 1,58707

P = 489,03

Como o TAC e IOF foram descontados, é como se tivesse sido recebido o capital de:

Vo'= 15 000 - TAC - IOF = 15000 - 400 - 300 = 14 300

E sendo paga parcelas amortizando um capital de 15 000

Logo, a taxa efetiva agora é dada pela solução da raíz real do polinômio:

Vo'.x^48 - P.x^47 - P.x^46 ... - P.x - P = 0

14300x^48 - 489,03.x^47 - 489,03x^46 - ... - 489,03x - 489,03 = 0

Isto é, um polinômio de 48º grau, que, obviamente, não tem "fórmula", só podendo ser resolvido por:

1) Métodos numéricos como o de Newton ou por "tentativa e erro".

2) Planilha eletrônica

3) Calculadora financeira

4) Métodos gráficos aproximativos

5) Interpolações em tabelas financeiras após procura reversa.


Vamos lá !


1) Newton

As calculadoras e as planilhas o usam...


2) Planilha BrOffice Calc

Em uma célula qualquer insere-se a função TAXA (ou equivalente..) com os dados referidos:

TAXA(n; PGTO; VP; VF)

Respeitando-se os sinais (capital e parcelas com sinais opostos)

TAXA EFETIVA 4bvCAAAAABJRU5ErkJggg==

Plim ! Prontinho.


3) HP-12C


Limpa todos os registradores.

48 --> n

2 --> i

14 300 --> PV

489.03 --> CHS --> PMT

0 --> FV

i --> 2.24%

Assista ao vídeo:



4) Gráfico

TAXA EFETIVA 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

b) TAC = 400 e IOF = 300 acrescidos ao principal;

Parcelas ?

P = Vo.x^48 (x - 1) /(x^48 - 1)

Vo = 15 000 + TAC + IOF = 15 000 + 400 + 300 = 15 700

j = 2% am = 0,02

x = 1 + j = 1,02

P = 15700 . 2,58707 . 0,02 / 1,58707

P = 511,85

Agora vamos calcular a taxa efetiva, considerando-se essa parcela, mas financiando-se somente 15 000.

n = 48

j = ?

Vo' = PV = VP = 15 000

PMT = PGTO = 511,85

VF = FV = 0

Pela planilha: 2,23%




Caso alguém queira ver como é o Método de Newton, o trabalhoso, eu faço um outro post...

Bom dia, caro rihan!

Muito obrigado por tão grande atenção de sua parte!
(Gostei do vídeo, embora não tenha uma HP. Uso um programa financeiro gratuito da Pine Grove, o Loan*Calculator!Plus, for Easy Loan Analysis).

O motivo de eu ter postado essa questão, é que vários consulentes do soensino têm postado questões perguntando qual seria a taxa e, como não existe fórmula normal conhecida, tenho colocado para eles e resolvido através da fórmula de Baily-Lenzi, que acredito tenha sido baseada no Método de Newton.

Sendo assim, vou colocar aqui essa fórmula, pois poderá ser útil para quem necessite resolver sem precisar recorrer a recursos não manuais:

==========================================================
Fórmula de BAILY–LENZI para se determinar a taxa com razoável precisão
Para n*i ≤ 3

....... n * R
h =[(-------)^2/(n+1)] - 1
.......... P

h = um índice a ser aplicado adiante
n = número de períodos
R = prestação
P = valor do financiamento

........... 12 – (n-1).h
i = h * -----------------
........... 12 – 2(n-1).h

==========================================================





O Senhor Jesus te conceda uma semana ricamente abençoada!
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Mensagem por rihan Seg 12 Nov 2012, 12:27

Se não me falha a memória (leda esperança...) Baily era um inglês do final do século XIX que fez uma aproximação para ele mesmo usar em seus cálculos atuariais.

Lenzi era um financista e professor italiano do início do século XX, que deu uma corrigida e uma guaribada na fórmula de Baily para períodos maiores que 40 ou 50...salvo engano.

Isto não se usa mais.

Há décadas, sei lá, 7 décadas ou mais.

É uma aproximação muito ruinzinha para determinadas faixas de "n" e "j", e, se não me engano, nesse caso, quando o produto da taxa pelo período é menor do que 3, ou seja para: j.n < 3

Não conheço, até hoje, qualquer concurso que tenha uma questão dessa para o concursante resolver "à mão", sem auxílio ao menos de tabelas ou alguns dados ou fatores tabulados.

Tenho a minha própria fórmula, uma excelente aproximação polinomial para quaisquer valores de "n" e "i", com erro máximo de 0,01%.

Mas a criei por diversão, jamais vou usá-la.

Quem faz contas são as máquinas e as planilhas, ainda bem.

Algumas, como o Excel da MicroSoft, inclusive, fazem com erros grotescos há décadas...

As tabelas e as interpolações não dariam esse resultado com diferença na segunda casa decimal.

Muito menos a aproximação de Baily, mesmo com a correção de Lenzi...

Vou explicitar o método de Newton para cálculo numérico de raízes de funções.

Algumas noções de polinômios e aproximação de funções por séries.

E, quem sabe, derivar uma fórmula mais precisa e de maior abrangência para os "malucos" que gostam desse assunto...

Gão-Mestre Ivomilton, minha HP-12C está bem velhinha e aposentada, numa prateleira de destaque do meu "museu" de HPs.

Uso um emulador ou, quando não estou na minha máquina, um emulador online:

Vai o link: http://epx.com.br/ctb/hp12c.php

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Mensagem por ivomilton Seg 12 Nov 2012, 13:58

Boa tarde, rihan.

Muito obrigado por seu retorno com todas esses esclarecimentos.

Como eu disse, não sei operar a HP, e nem mesmo tenho necessidade, já que o programa Loan* Calculator!Plus tem me ajudado sempre que necessito, inclusive fornecendo tabelas de Amortização, etc.

Talvez os que me têm perguntado a respeito, têm aquela normal curiosidade de saber qual seria a taxa, já que não se existe fórmula matemática que consiga extrair o valor da taxa, dada a fórmula da prestação pela TP.

Muito obrigado por tudo.





Forte abraço, amigo!
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Mensagem por rihan Seg 12 Nov 2012, 23:03

Grão-Mestre Ivomilton,

É sempre um prazer visitar suas questões, logo, eu que agradeço por sempre postar questões inteligentes, curiosas, educadoras e desafiantes !

Outro forte abraço ! cheers!

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Mensagem por Glauber Damasceno Qui 15 Nov 2012, 18:43

Excelente resolução para uma excelente questão .

Obrigado mestre ivomilton por ter postado sobre a Fórmula de BAILY–LENZI.

Um grande abraço e fique com Deus.
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Mensagem por rihan Sex 16 Nov 2012, 04:38

cheers

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Mensagem por jota-r Qua 02 Jan 2013, 19:28

ivomilton escreveu:Por favor, alguém sabe qual a fórmula para encontrar a taxa efetiva na seguinte questão?
"Você fez um leasing de um veículo junto a um banco no valor de R$ 15.000,00, pelo qual terá que pagar TAC (Taxa de Abertura de Crédito) de R$ 400,00 e IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) de R$ 300,00. O prazo acertado foi de 48 meses e a taxa de 2% ao mês. Calcule o valor das parcelas e a taxa nas seguintes alternativas:

a) Alternativa A: TAC e IOF descontados do principal;
Resposta do gabarito: Parcela: 489,03 e Taxa: 2,24%

b) Alternativa B: Receber os R$ 15.000,00 líquidos e financiar também a TAC e IOF.
Resposta do gabarito: Parcela: 511,85 e e taxa: 2,23%"

Muito obrigado!


Olá.


Embora um pouco tardiamente, gostaria de contribuir na resolução deste exercício, visando, principalmente, àqules que ainda não conhecem a FÓRMULA PRÁTICA DE KARPIN, qual seja:

i = [2α*(3+α)]/[(2nα+3*(n+1)], em que α = np/v - 1.

Vamos lá:


a) Alternativa A: TAC e IOF descontados do principal:

Dados:
n = 48 meses; p = 489,03; v = 15000 - 700 = 14300; α = 48*489,03/14300 - 1--->α = 0,64150: i = ?

i = [2α*(3+α)]/[(2nα+3*(n+1)]
---->
i = [2*0,64150*(3+0,64150)]/[(2*48*0,64150+3*(48+1)]
---->
i = [1,28300*3,64150]/[61,58400 +147]
---->
i = 4,67204/208,58400
---->
i = 0,02240 = 2,24% a.m.


b) Alternativa B: Receber os R$ 15.000,00 líquidos e financiar também a TAC e IOF

Dados:
n = 48 meses; p = 511,85; V = 511,85*(1,0223^6-1)/(1,0223^6*0,0223) = 2844,97;
α = 6*511,85/2844,97 - 1 = 0,07948: i = ?

i = [2α*(3+α)]/[(2nα+3*(n+1)]
---->
i = [2*0,07948*(3+0,07948)]/[(2*6*0,07948 +3*(6+1)]
---->
i = [0,15896*3,07948]/[0,95376 +21]
---->
i = 0,48951/21,95376
---->
i = 0,02230 = 2,23% a.m.


Um abraço.

jota-r
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Mensagem por rihan Sáb 05 Jan 2013, 01:31

Oi Jota-R !!!

Ótima lembrança o método de Karpin.

Uma melhoria desse método foi feita em um paper de 1980...

Mas, eu, eu continuo preferindo os atuais métodos...

Saudações simplistas e práticas !

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