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Mensagem por carlex28 em Dom 04 Nov 2012, 20:20

As medidas dos catetos de um triangulo retangulo são senx e cosx. Um estudante calculou o volume do sólido gerado pela rotação desse triangulo em torno da hipotenusa,e obteve como resultado pi.Considerando esse resultado como certo,podemos afirmar que x,é em radianos, igual a:

a)pi/6

b)pi/3

c)pi/4

d)pi/5

e)n.r.a

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Mensagem por Elcioschin em Dom 04 Nov 2012, 20:58

Vou mostrar o caminho

Caretos b = senx , c = cosx ----> hioptenusa = a ----> a² = b² + c² ----> a² = sen²x + cos²x ----> a² = 1 ----> a = 1

Altura deste triângulo -----> h'*a = bc ----> h'*1 = semx*cosx ----> h = senx*cosx

Sejam H e h os dois segmentos que constituem a hipotenusa

H = sen²x ----> h = cos²x

O sólido obtido é a aoma de dois cones: um de raio r = h' e altura H e o outro de raio r = h' e altura h

Volume de cada cone ---> V = (1/3)*pi*r²*H e v = (1/3)*pi*r²*h

Calcule cada volume e some. Iguale ao volume dado e calcule x
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Mensagem por Euclides em Dom 04 Nov 2012, 21:41

Elcio,

o roteiro que você apontou está, é claro, correto. Acho, porém, que essa questão não vai ter solução viável porque o volume do sólido não pode ser igual a pi.

Pode?

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Mensagem por denisrocha em Dom 04 Nov 2012, 22:55

o triângulo tem lados senx, cosx e √(sen²x + cos²x) = 1

a altura do triângulo mede h = senx*cosx


pelo teorema de Pappus Guldin: V = S.d, onde S é a área da superfície geratriz do sólido e d é a distância percorrida pelo centróide dessa área em uma rotação completa (2pi)

a distância do centróide à reta de revolução (hipotenusa) é igual a d

siga a imagem:

Questão ITA 66377355

então, com d = senx*cosx - (1/3) e a área da superfície = (senx*cosx)/2, fica:

V = [(senx*cosx)/2]*2pi*[senx*cosx - (1/3)] = pi
(senx*cosx)*[senx*cosx - (1/3)] = 1
sen²x*cos²x - (1/3)senx*cosx = 1
sen²x*cos²x = 1 + (1/3)senx*cosx, como ambos são positivos a equação não possui solução

alternativa E
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Mensagem por denisrocha em Dom 04 Nov 2012, 22:57

veja mais sobre o teorema em:

Spoiler:
http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo1702.htm
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Mensagem por Euclides em Dom 04 Nov 2012, 23:32

Mesmo como propôs o Elcio (corretamente, também), o volume do sólido é dado por



e como o maior produto é igual a 1/4, sendo H=1, o maior volume possível do sólido é




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Mensagem por Elcioschin em Seg 05 Nov 2012, 14:53

Deve haver algum erro no enunciado.
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