Número de Soluções Inteiras Não-Negativas de Uma Equação
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Número de Soluções Inteiras Não-Negativas de Uma Equação
O problema de se achar o número de soluções inteiras não-negativas de uma equação linear de coeficientes unitários faz parte da análise combinatória, mais precisamente do tópico Combinações Completas ou Combinações com Repetição. É um problema razoavelmente recorrente.
Aqui no forum, foi uma teoria que usei em alguns posts. Na maior parte deles, porém, vi que o autor estranhou a técnica, o que me motivou a escrever este tópico para "linkar" futuramente.
Demonstração:
Suponha o seguinte caso menor:
Imagine 5 unidades de um item (digamos bolinhas) dispostas em sequência:
Para que dividamos essa quantidade em três partes (variáveis), basta usarmos duas divisórias. Por exemplo:
Cada solução possível será um arranjo de 5 bolinhas e 2 barras, isto é, uma permutação de 7 itens com repetição de 5 e 2.
Para a equação genérica no início do post, temos k bolinhas e devemos dividí-las em n variáveis. Para isso, basta usar n - 1 barras. O número de soluções será igual ao de formas de se arranjar k + n - 1 elementos, com repetição k e n - 1.
Aqui no forum, foi uma teoria que usei em alguns posts. Na maior parte deles, porém, vi que o autor estranhou a técnica, o que me motivou a escrever este tópico para "linkar" futuramente.
[mention][/mention] escreveu:Seja uma equação da forma:
O número de soluções inteiras não negativas dessa igualdade é:
Demonstração:
Suponha o seguinte caso menor:
Imagine 5 unidades de um item (digamos bolinhas) dispostas em sequência:
Para que dividamos essa quantidade em três partes (variáveis), basta usarmos duas divisórias. Por exemplo:
Cada solução possível será um arranjo de 5 bolinhas e 2 barras, isto é, uma permutação de 7 itens com repetição de 5 e 2.
Para a equação genérica no início do post, temos k bolinhas e devemos dividí-las em n variáveis. Para isso, basta usar n - 1 barras. O número de soluções será igual ao de formas de se arranjar k + n - 1 elementos, com repetição k e n - 1.
Robson Jr.- Fera
- Mensagens : 1263
Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
Re: Número de Soluções Inteiras Não-Negativas de Uma Equação
Robson Jr. parabéns pelo tópico, muito bom!!!
denisrocha- Fera
- Mensagens : 381
Data de inscrição : 13/04/2012
Idade : 29
Localização : Piracicaba - SP
Glauber Damasceno- Jedi
- Mensagens : 289
Data de inscrição : 21/03/2012
Idade : 28
Localização : Nova Iguaçu - RJ
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