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Número de conjuntos diferentes

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Mensagem por Paulo Testoni Dom 28 Out 2012, 14:15

Sendo x, y e z três números naturais tais que x.y.z=2310, o número de conjuntos {x,y,z} diferentes é:
(A) 32.
(B) 36.
(C) 40.
(D) 43.
(E) 45.
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Mensagem por parofi Sáb 15 Dez 2012, 15:22

Olá:
2310=2x3x5x7x11. Como os cinco fatores são todos diferentes, podemos escolher 3 deles para o fator x, 1 para y e 1 para z ou 2 para x, 2 para y e 1 para z. (Supõe-se que a ordem dos fatores x, y e z não interessa, por exemplo: 30x7x11=7x11x30)
Assim, o nº de casos é: C(5,3)x1x1 + C(5,2)xC(3,2)x1=10+30=40.

Um abraço.

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Mensagem por rogerpradamendes Qua 09 Jan 2013, 02:59

Será que você poderia explicar mais detalhadamente seu raciocínio, por favor.

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Mensagem por parofi Qui 10 Jan 2013, 20:07

Olá Roger. Vou tentar explicar melhor.
O número 2310 tem 5 fatores distintos, para além do 1. Como referi, decompondo 2310 em fatores, vem que 2310=2x3x5x7x11.
Como queremos escrever 2310 apenas como o produto de 3 fatores (2310=x.y.z), então há 2 hipóteses:

1º caso: x será o número que se obtém efetuando o produto de 3 daqueles 5 fatores, e y e z serão os dois fatores que restam. Por exemplo: x=2x3x5; y=7; z=11 ou (outro exemplo) x=2x5x11; y=3;z=7, etc. Trata-se de escolher para o x 3 dos cinco fatores, daí as combinações C5,3, e como não interessa a ordem dos fatores x, y e z, temos apenas 1 hipótese para x e outra para z.

2º caso: x será o número que se obtém efetuando o produto de 2 dos 5 fatores; y será também o produto de 2 dos 3 fatores que restam e z será o último fator. Por exemplo, x=2x5;y=3x11 e z=7. daí termos para x C5,2; para y C3,2 e para z 1 hipótese.

Então, somando os casos, vem: C5,3x1x1+C5,2xC3,2x1=10+30=40.
NOTA: Excluí a hipótese de o x, y ou z serem 1. Se contemplasse essa hipótese, o nº de casos seria bem maior...
Espero ter esclarecido o meu raciocínio.
Um abraço.

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