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Dimensões máximas de uma quadra

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Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por hvm.gyn em Qua Out 24 2012, 15:23

(Fuvest-SP) Quero construir uma quadra de futebol de salão retangular. Para cercá-la, disponho de
60 m de alambrado pré-fabricado e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal
(figura abaixo). Quais devem ser as dimensões dessa quadra para que sua área seja máxima?

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a) x=20m; y=10m
b) x=15m; y=30m
c) x=12m; y=18m
d) x=10m; y=20m
e) x=8m; y=30m

Gabarito: B

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Re: Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por Jose Carlos em Qua Out 24 2012, 15:48

temos que o perímetro das dimensões máximas deve valer 60 m

logo:

2*x + y = 60

= das alternativas apresentadas apenas o item b satisfaz a condição.

____________________________________________
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Re: Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por Pietro di Bernadone em Qua Out 24 2012, 15:49

Olá, boa tarde!

Vamos chamar o lado maior de a e o lado menor de b. Logo,

a + 2.b = 60
a = 60 - 2b

Quadra retangular --> A = a.b
0 = (60 - 2b).b
0 = 60b - 2b²
2b² - 60b = 0 --> Resolvendo, b = 30

Vamos agora ao cálculo da área máxima do retângulo (ponto máximo da função quadrática):

Am = a.b
0 = (60 - 2b).b
60 b - 2b² = 0
a = - 60/2.(-2) --> Usando Xv

Logo, a = 15

Qualquer coisa estou por aqui.

Att,

Pietro

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Re: Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por MuriloTri em Qua Out 24 2012, 15:52

X e Y são as dimensoes

como vai usar a parede como o quarto lado, teremos que dobrar a tela em dois lados iguais (2x) a outra (y), formando um l........l

2x + y = 60
y =60-2x
A = x.y é a área que se deseja máxima.
substituindo y em A...

A = x (60-2x)

A = 60x - 2x² (1)

A é uma função do segundo grau que adquire seu valor max.

x = -b/2a
x = -60 / -4 = 15m
y = 60-2x = 60 - 2x15 = 30m

o valor max, da área se consegue dobrando a tela em dois comprimentos de 15m e o terceiro de 30m, formando um U e usando a parede como o quarto lado do retângulo.

Área maxima seria 15.30 = 450m²
.

Derivando a função (1)
A = 60x - 2x²
A' = 60 - 4x (Igualando a zero)
4x= 60
x = 15m

@Edit: Pietro di Bernadone, desculpe, estava respondendo e quando fui mandar você respondeu também, espero que não se importe Smile

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Re: Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por hvm.gyn em Qua Out 24 2012, 15:58

Obrigado a todos pela atenção.

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Re: Dimensões máximas de uma quadra

Mensagem por Pietro di Bernadone em Qua Out 24 2012, 16:28

Sem problemas MuriloTri! Excelente explicação..

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