(ITA - 1973) Logaritmo e Fatorial

A solução da equação , com , é

a)
b)
c)
d)
e) nda

Não tenho o gabarito.

Essa é uma soma telescópica.
Analise o somatório da seguinte maneira:
2T[k] = (k - 1)/k!, 2 <= k <= n+1
2T[k] = k/k! - 1/k! = 1/(k-1)! - 1/k!
Segue:
2S = 1/1! - 1/2! + 1/2! - 1/3! + 1/3! ... - 1/(n+1)! => S = (1 - 1/(n+1)!)/2
Donde:
(1 - 1/(n+1)!)x/2 = 1/(n+2)!
((n+1)! - 1)x/2(n + 1)! = 1/(n + 2)!
((n+1)! - 1)x = 2(n + 1)!/(n + 2)*(n + 1)!
((n+1)! - 1)x = 2/(n+2) => x = 2/((n + 2)! - (n + 2))
Letra c.

Muito obrigado pela resposta, aprentice.

Desculpe a ignorância, mas não entendi direito tua resolução.

Gostaria muito que fizesse a gentileza de explicar o seguinte:

Como assim 2T[k] = (k - 1)/k! ?

E por que 2S ficou uma soma com todos numeradores iguais a 1 ?

Abraço.

1/2 multiplica todos os termos da soma então ele pode ser colocado em evidência fora dela.
A soma simplificada:
É uma soma de k/(k + 1)! com k de 1 até n.
Veja:
k = 1: 1/(1 +1)! = 1/2!
k = 2: 2/(2 + 1)! = 2/3!
k = n: n/(n + 1)!
Isso é equivalente a soma de (k - 1)/k! com k de 2 até n+1.
Veja:
k = 2: (2 - 1)/2! = 1/2!
k = 3: (3 - 1)/3! = 2/3!
k = n+1: (n + 1 - 1)/(n + 1)! = n/(n+1)!

Só isso já nos dá uma boa dica de que é uma soma telescópica.
Ignore isso.
A soma de (k - 1)/k! é igual a soma de k/k! - 1/k! = k/k*(k-1)! - 1/k! = 1/(k-1)! - 1/k!
Expandindo a soma vem:
1/(2-1)! - 1/2! + 1/(3-1)! - 1/3! + 1/(4-1)! + ... -1/(n+1)! = 1 (- 1/2! + 1/2!) (- 1/3! + 1/3!) + ... - 1/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!
A soma não simplificada é a soma simplificada dividida por 2.

Essa é uma soma bem simples, dá pra resolver só com raciocinio lógico.Mas se souber as técnicas, sai quase que de imediato.
Dá uma lida em materiais de somatórios (somas telescopicas, perturbação, somatório da variação, cálculo na resolução de somatórios etc)

Edit: vou procurar alguns materiais pra você, um segundo.

Dá uma olhada:
http://dadosdedeus.blogspot.com.br/2011/06/apostilas-completas-de-somatorios.html
http://www.rumoaoita.com/site/matematica/72-topicos-adicionais/45-somatorios
http://www.rumoaoita.com/site/matematica/72-topicos-adicionais/39-somas-telescopicas

Dá uma olhada no caio guimarães pra somas binomiais e aplicações de complexos em somatórios.
http://www.rumoaoita.com/site/matematica/72-topicos-adicionais/16-aplicacoes-qdiferentesq-para-numeros-complexos
Esta apostila do rumo ao ita parece cobrir essa parte, não a li então não sei.
Não cheguei a ler a do dadosdedeus também (mas vou, agora que encontrei), parece ser beeeeeem completa.
Quanto aos outros materiais, li e aprovo bastante.
Tem mais umas coisinhas em somatórios mas isso ai cobre uma boa parte.

Nossa cara, muitíssimo obrigado!

Vou ler isso agora mesmo, haha.

Grande abraço!