Polígonos Regulares

Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito em uma circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 cm, então a soma das medidas, em cm, do lado hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser:

Gabarito: 2√3+1

O lado do hexágono é o mesmo valor do raio do círculo que está dentro dele.
Já o raio desse círculo é a reta formada por um dos vértices do triângulo e seu baricentro. E essa reta é 2/3 da altura.

Então, para calcularmos a altura, fazemos por Pitágoras:
3² = h² + (3/2)²
h² + 9/4 = 9
h² = 36/4 - 9/4 = 27/4
h = 3V3/2

Então o raio do círculo é de:
2/3 * 3V3/2 = V3 cm
Este é o lado do hexágono também.

Então a soma das medidas do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência é:
V3 + 2V3 = 3V3.

Bom... O raio do círculo que está dentro do hexágono é igual ao lado do hexágono... Por isso, acho que o lado do hexágono não vale 1...

Espero ter ajudado. ^_^

Obrigado pela ajuda. Darei uma olhada com calma na sua resolução.

\o

Alguém poderia fazer uma representação desse carimbo(por imagem)?

Grato!

Up.

Eu estava muito enganado á respeito da figura, pensei que o hexágono estava inscrito ao triângulo, agora, com essa bela imagem, tudo faz sentido.

Muito obrigado por me fornecer a imagem, amigo(a) Skyandee!
Um forte abraço!

Existe um pequeno erro na resolução e no gabarito. Acabei de checar e o colega esqueceu de colocar a resposta entre parênteses. O raio da circunferência inscrita ao hexágono é igual ao lado do mesmo, enquanto o raio da circunferência circunscrita ao hexágono é equivalente à altura de um dos triângulos equiláteros que forma o mesmo. Ao fazer os cálculos, você encontrará que a soma pedida será 2√3+2, ou seja, 2(√3+1).

Um forte abraço para você também, colega.

Bem notado, Skyandee.

O raio da circunferência não é igual ao lado do hexágono, na verdade, é a altura do triângulo equilátero cujo lado tem medida igual ao lado do hexágono.

O lado do hexágono pode ser calculado assim:
H=(l√3/2)
√3=(l√3/2)
2√3=l√3
l=2 cm