(ITA - 2006) Sistemas Lineares

Tenho duas dúvidas sobre a seguinte questão:

Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por



Considere as seguintes afirmações:
I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0
II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos
III.

Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas
A) I
B) II
C) III
D) I e II
E) II e III


Gabarito: E


As dúvidas são:

1 - É possível discutir este sistema por Cramer ou por Rouché-Capelli? Tentei e não deu muito certo.

2 - Vi, numa resolução, o seguinte:

"Quanto a afirmação III, se a, b 0 podemos escrever:

"

E depois segue usando o mesmo raciocínio para y e substituindo na expressão x² + y².
Bom, gostaria de saber daonde diabos saiu aquela expressão pra x.

Leandro,
Como você mensionou o Teorema de Rouché - Capelli, vou considerar que você possui conhecimento do mesmo.

Vamos lá:
Matriz coeficiente (Mc):
Mc = .:. Det Mc = (a - b)² + (a + b)² .:. Det Mc = 2(a² + b²)


***
I - se a = b = 0, temos duas opções: SPI ou SI
Para para o sistema ser SPI ou SI, a = b = 0, então
Matriz coeficiente (Mc):
Mc =
Matriz aumentada (Ma):
Ma =
Como a catacterística da matriz coeficiente é diferente da característica da matriz aumentada, para a=b=0, o sistema é SI. Portanto, a afirmativa I é falsa.

II- Det de Mc = 2(a² + b²), mas 2(a² + b²)>0, se a e b não forem simultaneamente nulos.
Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

III - Se Det Mc ≠ 0, isto é (a² + b²)≠ 0 - SPD

Então podemos resolver o sistema:
Isolando x na primeira equação: x = [1 +(a + b)y] / (a - b) (I)
Substituindo o valor de x na segunda equação:
[(a+b)( 1 + (a + b)y)]/(a + b) + (a - b)y = 1 .:. y = -b/(a² + b²) (II)
Substituindo (II) em (I):
x = a/(a² + b²)
Fazendo x² + y², tem-se:
x² + y² = a²/(a² + b²)² + b²/(a² + b²)² .:. x² + y² = 1/(a² + b²), portanto a afirmativa III é verdadeira.

Altelnativa E.

Espero ter ajudado!

Leandro Blauth escreveu:"Quanto a afirmação III, se a, b 0 podemos escrever:

"

E depois segue usando o mesmo raciocínio para y e substituindo na expressão x² + y².
Bom, gostaria de saber daonde diabos saiu aquela expressão pra x.

Se eu não me engano esse valor de x, em função de um determinante, saiu da regra de Cramer.

Muito obrigado senhoritA (haha) Nat.

Pois é, saiu de Cramer sim, não sei como não me dei conta ¬¬