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Mensagem por Fernando_Vieira em Dom 23 Set 2012, 13:53

(ITA-SP-1997) Sejam A, B e C matrizes reais, quadradas de ordem n e não nulas. Por O denotamos a matriz nula de ordem n. Se AB = AC, considere as afirmações:
I. A² ≠ O
II. B = C
III. det B ≠ 0
IV. det (B - C) = 0

Então,
A) todas são falsas.
B) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
C) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
D) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
E) apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Gabarito:
Spoiler:
Não consegui encontrar uma resposta definitiva. Mas alguns gabaritos indicam letra C) e outros dizem a única certa é a (IV).
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Mensagem por Robson Jr. em Dom 23 Set 2012, 14:48

I. Falsa.

Contra-exemplo: B = C e A matriz nilpotente de índice 2 (A² = 0, mas A ≠ 0).

II. Falsa.

AB = AC → A(B - C) = 0 → AX = 0, com X = B - C.

Podemos ter AX = 0 sem que tenhamos, necessariamente, A = 0 ou X = 0 (B = C).
Contra-exemplo:



III. Falsa.

Contra-exemplo: A = I e B = C = X, com X sendo uma matriz com duas linhas iguais, isto é, det(X) = 0.

IV. Verdadeira.

Suponha que det(B - C) ≠ 0, isto é, existe a inversa de (B - C).

AB = AC → A(B - C) = 0 → A.(B - C).(B - C)^-1 = 0 → A = 0 (contradição).

Logo det(B - C) = 0.
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