(ITA - 2001) Matrizes

Tenho uma dúvida quanto à resolução da assertiva I da questão abaixo.

Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:

(I) é simétrica.
(II) é simétrica.
(III) é simétrica.

temos que:

a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.

Gabarito: e


Numa resolução que vi desta questão, se faz, em certo momento:



Pelo que entendo, isto significa que ou, de forma geral: MN = NM com M,N matrizes reais. Até onde eu sei esta não é uma propriedade das matrizes. Por obséquio, alguém me dê uma luz.

Leandro Blauth escreveu:
Numa resolução que vi desta questão, se faz, em certo momento:



Pelo que entendo, isto significa que

?

Leandro, uma matriz R é dita simétrica quando . Do enunciado, B satisfaz essa condição.
Extraindo a transposta da matriz representada em I, podemos conferir se ela possui tal propriedade:



Então de fato I é verdadeira.

Obrigado pela resposta Robson. A poucos instantes eu ainda desconhecia a propriedade da transposta da multiplicação de matrizes, por isso havia me atrapalhado e "entendido" de forma equivocada a resolução.

A alternativa I está correta! Veja: O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas e B é simétrica, i.e: 
A alternativa I diz que:  é simétrica então a transposta dessa soma deverá ser igual a essa própria soma!
 , mas tem uma propriedade que . Então, 
  , Mas 
  (pois, X+Y=Y+X, sendo X=B.A^(T) e Y=AB)