Ime - complexo
+2
Robson Jr.
Vieira1
6 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Ime - complexo
> "Sendo a, b e c números naturais em progressão
> aritmética e z um número complexo de módulo unitário,
> determine um valor para cada um dos números a, b, c e
> z de forma que eles satisfaçam a igualdade:
>
> 1/z^a + 1/z^b + 1/z^c = z^9
> aritmética e z um número complexo de módulo unitário,
> determine um valor para cada um dos números a, b, c e
> z de forma que eles satisfaçam a igualdade:
>
> 1/z^a + 1/z^b + 1/z^c = z^9
Vieira1- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 153
Data de inscrição : 29/07/2012
Idade : 29
Localização : são paulo
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Re: Ime - complexo
É fácil ver que z = -1, a = 1, b = 2 e c = 3 são soluções.
Demonstração:
Demonstração:
Última edição por Robson Jr. em Seg 13 Ago 2012, 18:12, editado 1 vez(es)
Robson Jr.- Fera
- Mensagens : 1263
Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Re: Ime - complexo
É..
Estranho.
Tentei fazer por desigualdade das médias.
É grande a solução, Robson ?
Estranho.
Tentei fazer por desigualdade das médias.
É grande a solução, Robson ?
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Re: Ime - complexo
Henrique, não fiz uma conta sequer.
O cara só pediu uma solução... a que coloquei chega a ser gritante.
Vou editar pra não ficar tão curto. =/
O cara só pediu uma solução... a que coloquei chega a ser gritante.
Vou editar pra não ficar tão curto. =/
Robson Jr.- Fera
- Mensagens : 1263
Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Re: Ime - complexo
tem um solução no livro do caio guimarães gigante kkkkk é bom pra treinar mas, como é só para achar uma solução colocar o -1 fica bem mais fácil.
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Solução completa...
Veja que |z|=1, logo:
z= cos(Θ) +isen(Θ) (abreviado como cis(Θ)) (z^{n}=cos(nΘ)+isen(nΘ) )
a=b-r
c=b+r
A equação ficou: cos(rΘ-bΘ)+isen(rΘ-bΘ) + cos(bΘ)-isen(bΘ) + cos(rΘ+bΘ)-isen(rΘ+bΘ) = cos(9Θ)+isen(9Θ)
=>Aplicando a fórmula trigonométrica cos(a)+cos(b)=2cos(a/2+b/2)cos(a/2-b/2), teremos:
(2cos(rΘ)+1)(cos(bΘ)-isen(bΘ))=cos(9Θ)+isen(9Θ)
Aplicando o módulo dos lados, descobrimos que 2cos(rΘ)+1=+/- 1 e -bΘ=9Θ+2kπ
Fazendo Θ=π/2l...
Basta resolver, uma parte da solução fica:
a= -9 -l(4k+1+2j)
b= -9 -4kl
c= -9 -l(4k-1-2j) com l,k,j inteiros e l,j,k não podem ser 0. Há infinitas soluções, mas no enunciado é pedido apenas 1, portanto, para l=-10 k=1 j=1,
a=61 b=31 c=1
z= cos(Θ) +isen(Θ) (abreviado como cis(Θ)) (z^{n}=cos(nΘ)+isen(nΘ) )
a=b-r
c=b+r
A equação ficou: cos(rΘ-bΘ)+isen(rΘ-bΘ) + cos(bΘ)-isen(bΘ) + cos(rΘ+bΘ)-isen(rΘ+bΘ) = cos(9Θ)+isen(9Θ)
=>Aplicando a fórmula trigonométrica cos(a)+cos(b)=2cos(a/2+b/2)cos(a/2-b/2), teremos:
(2cos(rΘ)+1)(cos(bΘ)-isen(bΘ))=cos(9Θ)+isen(9Θ)
Aplicando o módulo dos lados, descobrimos que 2cos(rΘ)+1=+/- 1 e -bΘ=9Θ+2kπ
Fazendo Θ=π/2l...
Basta resolver, uma parte da solução fica:
a= -9 -l(4k+1+2j)
b= -9 -4kl
c= -9 -l(4k-1-2j) com l,k,j inteiros e l,j,k não podem ser 0. Há infinitas soluções, mas no enunciado é pedido apenas 1, portanto, para l=-10 k=1 j=1,
a=61 b=31 c=1
7847228- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 28/01/2016
Idade : 24
Localização : Brasil
leonardo_gagliano gosta desta mensagem
Re: Ime - complexo
viniciusrts escreveu:tem um solução no livro do caio guimarães gigante kkkkk é bom pra treinar mas, como é só para achar uma solução colocar o -1 fica bem mais fácil.
Cara, eu vi a solução no livro e por isso vim dar uma pesquisada kkkkkkkk fiquei feliz em saber que tem um jeito mais fácil
leonardo_gagliano- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 06/09/2022
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|