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Ime - complexo

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Mensagem por Vieira1 Seg 13 Ago 2012, 13:22

> "Sendo a, b e c números naturais em progressão
> aritmética e z um número complexo de módulo unitário,
> determine um valor para cada um dos números a, b, c e
> z de forma que eles satisfaçam a igualdade:
>
> 1/z^a + 1/z^b + 1/z^c = z^9
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Mensagem por Robson Jr. Seg 13 Ago 2012, 17:54

É fácil ver que z = -1, a = 1, b = 2 e c = 3 são soluções.

Demonstração:



Última edição por Robson Jr. em Seg 13 Ago 2012, 18:12, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Al.Henrique Seg 13 Ago 2012, 18:06

É..

Estranho.

Tentei fazer por desigualdade das médias.

É grande a solução, Robson ?
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Mensagem por Robson Jr. Seg 13 Ago 2012, 18:09

Henrique, não fiz uma conta sequer.

O cara só pediu uma solução... a que coloquei chega a ser gritante.

Vou editar pra não ficar tão curto. =/

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Mensagem por Al.Henrique Seg 13 Ago 2012, 18:10

HAHA Razz

Okay.
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Mensagem por viniciusrts Seg 22 maio 2017, 13:47

tem um solução no livro do caio guimarães gigante kkkkk é bom pra treinar mas, como é só para achar uma solução colocar o -1 fica bem mais fácil.

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Ime - complexo Empty Solução completa...

Mensagem por 7847228 Seg 01 Out 2018, 11:22

Veja que |z|=1, logo:
z= cos(Θ) +isen(Θ) (abreviado como cis(Θ))   (z^{n}=cos(nΘ)+isen(nΘ) ) 

a=b-r
c=b+r


A equação ficou:   cos(rΘ-bΘ)+isen(rΘ-bΘ) + cos(bΘ)-isen(bΘ) + cos(rΘ+bΘ)-isen(rΘ+bΘ) = cos(9Θ)+isen(9Θ)


=>Aplicando a fórmula trigonométrica cos(a)+cos(b)=2cos(a/2+b/2)cos(a/2-b/2), teremos:

(2cos(rΘ)+1)(cos(bΘ)-isen(bΘ))=cos(9Θ)+isen(9Θ)


Aplicando o módulo dos lados, descobrimos que 2cos(rΘ)+1=+/- 1 e -bΘ=9Θ+2kπ


Fazendo Θ=π/2l...


Basta resolver, uma parte da solução fica:
a= -9 -l(4k+1+2j)
b= -9 -4kl
c= -9 -l(4k-1-2j)           com l,k,j inteiros e l,j,k não podem ser 0. Há infinitas soluções, mas no enunciado é pedido apenas 1, portanto, para l=-10 k=1 j=1,


a=61 b=31 c=1

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Mensagem por leonardo_gagliano Seg 10 Abr 2023, 00:06

viniciusrts escreveu:tem um solução no livro do caio guimarães gigante kkkkk é bom pra treinar mas, como é só para achar uma solução colocar o -1 fica bem mais fácil.

Cara, eu vi a solução no livro e por isso vim dar uma pesquisada kkkkkkkk fiquei feliz em saber que tem um jeito mais fácil
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