Sistema de Equações (2)

Alguém poderia me explicar como se resolve esse sistema?

(x - 4)² - (y + 5)² + 3(y - 8 ) = 2058

(x.y) + (x + 7)² = 5949

Muito obrigado.

Ivo,

Deve existir um modo mais inteligente de resolver isso mas não o encontrei. Um caminho (da força bruta) é isolar o y da segunda eq. e substitui-lo na primeira; chegamos a uma eq. do 3º grau em x.

(x-4)² - (y+5)² + 3(y-8) = 2058
x² - 8x + 16 – y² - 10y – 25 + 3y – 24 – 2058 = 0
x² - 8x – y² - 7y – 2091 = 0 ................................... [1]

xy + (x+7)² = 5949
y = [5949 – (x+7)²]/x ............ condição: x ≠ 0
y = (5949 – x² - 14x – 49)/x
y = (5900 – 14x – x²)/x ......................................... [2]

[2] em [1] vem:

x² - 8x - (5900 - 14x - x²)²/x² - 7(5900 - 14x - x²)/x - 2091 = 0 ....... mmc = x²

x⁴ - 8x³ - x⁴ - 28x³ + 1160x² + 165200x - 5900² - 41300x +
+ 98x² + 7x³ - 2091x² = 0

-29x³ + 9611x² + 123900x - 5900² = 0

resolvida esta eq. do 3º grau e substituindo as raízes na eq. [2], obtemos os pontos:

x₁ = 59 --------> y₁ = 27
x₁ =~ -61 -----> y₁ =~ -50
x₁ =~ 333 -----> y₁ =~ -330

Vide gráfico abaixo, onde as coordenadas dos três pontos estão citadas com várias casas decimais. Observe que a escala usada não deixa perceber que na hipérbole da eq.[1]:
a) o eixo de simetria horizontal está pouco abaixo do eixo x;
b) o eixo de simetria vertical está à direita do eixo y.

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Espero de alguma forma ter sido útil. Um abraço.

Boa noite, Cláudio, e muito obrigado por sua excelente resolução da questão!
O caso é o seguinte: o Roberto, do Soensino, postou esse sistema no Ensino Médio, pedindo sua resolução.
Eu tentei, mas não encontrei caminho pelos meios que conheço.
Aí, coloquei no Yahoo!Respostas, e alguém lá me informou que talvez só mesmo por uma resolução gráfica (que é o que você usou em parte, para melhor esclarecer).
Eu resolvi a questão de uma maneira não ortodoxa, mas cheguei à primeira das tuas respostas: 59 e 27.
E fiquei de buscar, para o Roberto, a solução normal, ortodoxa, que houvesse para aquele sistema de equações.
Muito obrigado, mais uma vez, por sua ajuda!
Abaixo, a solução que postei lá no Soensino (tive que separar "8" de ")" em dois lugares, a fim de evitar a formação de um Smiley, uma careta).
Você acha que eu deva postar lá, para ele, esta sua solução, ou não seria muito convenitente, dado que estaria além da compreensão dele (3º grau)?
Aguardo um retorno seu: aqui, ou por e-mail.
Desde já, muito agradecido pela atenção.


"Oi, Roberto, bom dia!

Ontem estava quase terminando de resolver esta questão, quando veio o "apagão" e levou tudo pro brejo! (risos)

(x - 4)² - (y + 5)² + 3(y - 8 ) = 2058 ............... [1]
(x.y) + (x + 7)² = 5949 ............................. [2]

Os dois primeiros termos de [1] são a diferença entre dois quadrados, que desenvolvendo dá:

(x - 4 + y + 5)(x - 4 - y - 5) + 3y - 24 = 2058 .... [3]
(x + y + 1)(x - y - 9) + 3y - 24 = 2058 ............ [4]

Desenvolvendo [2], obtemos:

xy + x² + 14x + 49 = 5949
xy + x² + 14x = 5949 - 49 = 5900

Colocando "x" em evidência, fica:

x.(x+y+14) = 5900 .................................. [5]

Fatores primos de 5900 = 2².5².59
Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 59, 100, 118, 236, 295, 590, 1180, 1475, 2950 e 5900.

Os dois fatores de [5] contêm, ambos, a incógnita "x", de modo que o segundo fator deverá ser maior que o primeiro, já que tem y+14 a mais.

Como a raiz quadrada de 5900 é 76,8, então deveremos ter:

x < 76,8
x+y+14 > 76,8

O que nos mostra que o valor de "x" deverá ser 59 ou menor.

Por outro lado em [4], para que a equação tenha solução, o produto dos dois fatores entre parênteses deverá ser positivo, o que impede que o segundo fator seja negativo, donde concluímos que deveremos ter x>y.

Apliquemos, então, a "x", os valores 59, 50, 25 e observemos quanto a essa condição, de ser x>y, utilizando para tal a lista dos fatores primos de 5900 (2².5².59):

x=59
x+y+14= 2².5² = 100
59+y+14 = 100
y = 100-59-14
y = 27 → condição válida → 59>27

x=50
x+y+14 = 2.59 = 118
50+y+14 = 118
y = 118-50-14
y = 54 → condição inválida → 50<54

Nem precisamos verificar quanto a x=25, pois diminuindo-se "x", "y" irá aumentar ainda mais.
Vamos então substituir, em [2], (x,y) pelos valores obtidos sob a condição válida (59,27):

(x.y) + (x + 7)² = 5949
(59.27) + (59+7)² = 5949
1593 + 4356 = 5949
5949 ≡ 5949

Vejamos, para concluir, se esses valores de (x,y) tornam verdadeira também a equação [1];

(x - 4)² - (y + 5)² + 3(y - 8 ) = 2058
(59-4)² - (27+5)² + 3(27-8 ) = 2058
55² - 32² + 3.19 = 2058
3025 - 1024 + 57 = 2058
2058 ≡ 2058

S = { (59,27) }



Abraços,
Ivo

Mas os que esperam no Senhor renovarão as suas forças; subirão com asas como águias; correrão, e não se cansarão; andarão, e não se fatigarão. — Isaías

Olá Ivo.

Manjo esse Roberto, ele é useiro e vezeiro em trazer problemas trabalhosos que não levam a lugar nenhum e só servem para exercitar manipulação algébrica. Se eu soubesse que era problema dele, e não seu, nem teria me mexido. Como já disse, acho que deve existir solução mais fácil para este problema, só que não encontrei. De qualquer forma, essa solução funciona!

Não sei de nenhum curso que tenha no conteúdo programático a solução da equação completa do 3º grau, talvez somente em faculdades de matemática. Se o Roberto queria a solução, dê-lha como está; no mínimo ele fica sabendo dos pré-requisitos para solução.

Quando chegou na eq. cúbica, não perdi tempo resolvendo-a (embora saiba) e passei direto para o gráfico. Se o Roberto quiser aprender a resolver cúbicas, indico:
"Cubic Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] ;
"Cubic Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] ;
estes links ainda devem funcionar.

Se quiser, você pode aproveitar o gráfico que já está feito (e a imagem hospedada) e colocar pra ele naquele fórum. É só colar o link abaixo:
&URL=http://img193.imageshack.us/i/sisteq2.jpg/*&img*[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]&/img*&/URL*

Atenção. Para que o link aparecesse aqui ao invés da própria imagem, tive que fazer algumas alterações. Para o link ficar real e funcionar, você deve substituir:
--> todo & por um abre colchetes [;
--> todo * por um fecha colchetes ].

Um abraço.

Ah, para evitar que fiquem carinhas indesejáveis, basta marcar a caixa "Desativar Smileys nesta mensagem", que fica nas "Opções", embaixo da sua tela de resposta.

Olá, Medeiros, me desculpe, pois não sabia sobre essa característica do Roberto.

Coloquei lá, então, o link da imagem e os que dizem respeito à resolução de cúbicas.

Um abraço e muito obrigado!

Ivo