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(IME 2000) Prove que a equação possui exatamente duas raízes reais

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Mensagem por Nat' Qui Ago 02 2012, 16:59

Olá pessoal! Por favor alguém pode me ajudar com essa?

Agradeço desde já!

Considere a,b e c números reais tais que a
1/(x-a) + 1/(x-b) + 1/(x-c) = 0
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Mensagem por Robson Jr. Qui Ago 02 2012, 18:02

Parte do enunciado foi novamente omitida, Nat... Mas tenho essa prova aqui em casa.

Enunciado correto:



Solução:

Se x ≠ a e x ≠ b e x ≠ c a equação torna-se:



Seja agora um número ∆x muito pequeno se comparado a a, b e c. Vou usá-lo para estudar o sinal da função na vizinhança dos pontos de descontinuidade x = a, x = b e x = c.

Fazendo f(a + ∆x), os termos em ((a + ∆x) - a) tornam-se praticamente nulos:



Tendo em mente os termos aproximadamente nulos, teremos analogamente para f(b - ∆x), f(b + ∆x) e f(c - ∆x):








A função do enunciado é contínua para todos os reais exceto os excluídos inicialmente.

Se f(a + ∆x) > 0 e f(b - ∆x) < 0, pelo teorema de Bolzzano existe uma raíz entre a e b;
Se f(b + ∆x) < 0 e f(c - ∆x) > 0, pelo teorema de Bolzzano existe uma raíz entre b e c.

Logo existem duas raízes x1 e x2 tais que a < x1 < b < x2 < c.

CqD
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Mensagem por Nat' Qui Ago 02 2012, 19:14

Nossa Robson que estranho, é a segunda vez que isso acontece, eu digito o enunciado inteiro e ele vai pela metade! Você tem uma idéia do que pode estar acontecendo??

Muito obrigada pela ajuda!Very Happy
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