Sistemas Lineares - CFO 2010

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Mensagem por Marcio xxx em Seg 30 Jul 2012, 17:47

Para quantos valores de k o sistema linear possui soluções não nulas?

2x+2y-z=kx
x+z=ky
2x-2y+3z=kz

(A) Nenhum.
(B) Um único valor positivo.
(C) Três valores, sendo dois negativos e um positivo.
(D) Três valores, sendo dois positivos e um negativo.
(E) Somente dois valores positivo

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Mensagem por Elcioschin em Seg 30 Jul 2012, 20:33

Invertendo a ordem

x - ky + z = 0

(2-k)x + 2y - z = 0

2x - 2y + (3-k)z = 0



1 ....... - k ........ 1 ........... 0

2-k ...... 2 ........ -1 .......... 0 ----> L2 - (2-k)*L1

2 ........ -2 ....... 3-k ......... 0 ----> L3 - 2*L1



1 ....... - k ........ 1 ........... 0

0 ..... 2+2k-k² .. -3-k ........ 0

0 ........ k-2 ....... 1-k ........ 0

Agora é contigo: resolva o sistema de duas equações e duas incógnitas das duas últimas linhas (y, z)
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Mensagem por Marcio xxx em Seg 30 Jul 2012, 21:30

Olá, Elcio, tudo bem? Primeiramente gostaria de agradecer pela ajuda.

Eu cheguei ao determinante e consegui resolver a questão, mas se me permite, vou deixar uma dúvida com relação a polinômios.


Cheguei ao determinante -k³+5k²-8k+4 = 0

Como vcs calculariam as raízes dele? Estou há algum tempo sem estudar polinômios, mas consegui fazer. Só que acho que meu método pode ter sido muito trabalhoso, por isso gostaria de saber como vcs fariam.


Eu fiz da seguinte forma:

an = -k³
a0 = 4

Sendo p os divisores de an {-1;1}
Sendo q os divisores de a0 {-1;1;-2;2;-4;4}

p/q = {1;-1;2;-2;4;-4}

Testando:

Para k(1) ---> -1 +5 -8 +4 = 0 (então 1 é raiz, chamarei de k1)


Agora usando as relações de girard:

-b/a = k1+k2+k3 ---> 5 = 1 +k2 +k3 ---> k2 = 4 - k3 (I)

-d/a = k1*k2*k3 ---> 4 = (4 - k3)*k3 ---> -k3² +4k3 -4 = 0

Soma = 4 , Produto = 4... então k3 = 2

Relembrando: k1 = 1; k2 = ?; k3 = 2


De (I), temos: k2 = 4 - 2 ---> k2 = 2

Então as raízes positivas são 1 e 2.

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Mensagem por Elcioschin em Seg 30 Jul 2012, 21:43

tendo testando e descoberto que uma raiz é k = 1, basta aplicar Briott-Ruffini

__| -1 ...... 5 ........ -8 ........ 4

.1| -1 ....... 4 ........ -4......... 0

Temos agora a equação do 2º grau -x² + 4x - 4 = 0 ---> x² - 4x + 4 = 0 ---> (x - 2)² = 0 ---> x = 2 (raiz dupla)

Raízes positivas 1 e 2
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