Conjuntos - Diagrama de Venn

Olá pessoal! Estou com uma questão que me tirou o sono. Será que alguém poderia me ajudar?

(UFRS) Em uma comunidade com 100 pessoas, temos 70 praticantes de voleibol, 70 praticantes e futebol e 70 pessoas praticantes de basquete. Qual o número mínimo de pessoas que praticam as três modalidades?

x = número de pessoas que praticam APENAS volei
y = número de pessoas que praticam APENAS futebol
z = número de pessoas que praticam APENAS basquete
a = x ∩ z
b = x ∩ y
c = y ∩ z
w = x ∩ y ∩ z
x + y + z + a + b + c + w = 100 (I)
x + a + w + c = 70 (II)
substituindo, temos
y + z + b + 70 = 100 (I)

y + a + b +w = 70
y + b = 70 - a - w (II)
substituindo, temos:
70 - a - w + z + 70 = 100 (I)

z + b + c +w = 70
z = 70 - b - c - w (II)
substituindo, temos:
70 - a - w + 70 - b - c - w + 70 = 100

resolvendo:
210 - 2w - a - b - c = 100
a + b + c = 100 - 2w

Sabemos que


portanto



confere?

Vamos forçar a barra e encontrar a situação em que há interseção mínima.

(Voleibol ∩ Futebol)

De 100 pessoas, 70 praticam voleibol. Logo 30 não praticam voleibol.

Se fizermos todos esses 30 não-praticantes de voleibol estarem dentre os 70 praticantes de futebol, os outros 70-30 = 40 praticantes de futebol devem necessariamente praticar voleibol também (porque já contabilizamos todos que não jogam volei).

Segue que a interseção mínima é 40.

[(Voleibol ∩ Futebol) ∩ Basquetebol]

De 100 pessoas, 70 praticam basquetebol. Logo 30 não praticam basquetebol.

Se fizermos todos esses 30 não-praticantes de basquetebol estarem dentre os 40 praticantes de (voleibol ∩ futebol), os outros 40 - 30 = 10 praticantes de (voleibol ∩ futebol) devem necessariamente praticar basquetebol também (porque já contabilizamos todos que não jogam basquete).

Logo, a interseção mínima é de 10 pessoas.

Olá pessoal,

A resposta é essa que o Robson Jr. deu mesmo!
Mas eu descobri um jeito muito mais simples de raciocinar e fazer.

Assim:
Imagine que para se inscrever seja necessário uma ficha. Se eu tenho 70 inscritos por modalidade, eu tenho 70 fichas; no total são 210 fichas na mão.
Se eu enfileirasse as 100 pessoas e começasse a distribuir as fichas ficaria assim:
Entregaria uma ficha para cada um dos 100, sobrariam 110 fichas.
Entregaria, novamente, mais 100 fichas, um a um, e sobrariam 10 fichas.

Logo, no mínimo 10 pessoas ficariam com três fichas.

Legal, não?!

[mention][/mention] escreveu:Entregaria uma ficha para cada um dos 100, sobrariam 110 fichas.

[mention][/mention] escreveu:Entregaria, novamente, mais 100 fichas, um a um, e sobrariam 10 fichas.

Esse raciocínio não diz nada sobre o recebimento de fichas iguais por uma mesma pessoa...

Mas gostei da sua forma de pensar.

Diz sim.. ele distribuiu as fichas de um modo que o mínimo possível recebesse 3 fichas e chegou no resultado correto. 10 pessoas receberiam necessariamente as três fichas restantes, pois todas já tinham 2.

ramonss escreveu:Diz sim.. ele distribuiu as fichas de um modo que o mínimo possível recebesse 3

Amigo, não há qualquer menção a isso. Veja:

Danielle Urquiza escreveu:Imagine que para se inscrever seja necessário uma ficha. Se eu tenho 70 inscritos por modalidade, eu tenho 70 fichas; no total são 210 fichas na mão.
Se eu enfileirasse as 100 pessoas e começasse a distribuir as fichas ficaria assim:
Entregaria uma ficha para cada um dos 100, sobrariam 110 fichas.
Entregaria, novamente, mais 100 fichas, um a um, e sobrariam 10 fichas.

Mas suponhamos que a Danielle dissesse que distribuiu as fichas de modo que o mínimo possível recebesse 3, como sugerido.
Ela precisaria:

a) Mostrar que modo é esse.
b) Explicar por que seria o caso de interseção mínima.


Achei a ideia dela criativa, porém insuficiente. O modo como as fichas são distribuídas é vago, haja vista que há número limitado de cada tipo e não faz sentido uma mesma pessoa ter, digamos, 2 fichas para futebol.

É claro que posso estar errado, portanto discordem à vontade. Discutamos

É, a justificativa dele não parece justificar corretamente, mas é interpretável. Ele não disse sobre duas pessoas receberem fichas do mesmo esporte, também pensei nisso, mas supus que as 70 primeiras fichas fossem, por exemplo, só de futebol. As próximas 70 só de vôlei, entregando para os 30 que restaram (e outros 40 do início da "fila") a fim de deixar o mínimo possível de fichas com as pessoas e, depois, as fichas restantes de basquete. para os 60 restantes até o final, sobrando 10 fichas, que serão entregues a 10 pessoas (o mínimo). Realmente a ideia foi muito boa, mas o modo como ele colocou talvez não foi o melhor hehe

A propósito, não consegui entender a sua solução... a interseção entre vôlei e futebol MÁXIMA é 40?
@edit
entendi!! legal

ramonss escreveu:supus que as 70 primeiras fichas fossem, por exemplo, só de futebol. As próximas 70 só de vôlei, entregando para os 30 que restaram (e outros 40 do início da "fila") a fim de deixar o mínimo possível de fichas com as pessoas e, depois, as fichas restantes de basquete. para os 60 restantes até o final, sobrando 10 fichas, que serão entregues a 10 pessoas (o mínimo)

Aqui você aperfeiçoou a ideia da Danielle. Legal.

ramonss escreveu:A propósito, não consegui entender a sua solução... a interseção entre vôlei e futebol MÁXIMA é 40?

Eu ia explicar, mas acabei de ler seu edit.

Desculpe-me a falta de rigor, mas esse pensamento foi assim:

Vamos supor que essas fichas as quais me referi não fossem diferentes entre si, e que nenhum indivíduo pudesse usá-las para se inscrever na mesma modalidade mais de uma vez.
Assim, seriam 100, depois mais 100, e 10 indivíduos ficariam obrigatoriamente com 3 fichas!