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semi circulos

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semi circulos Empty semi circulos

Mensagem por leovince2222 Qui 19 Jul 2012, 18:40

O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.
semi circulos Scaled.php?server=411&filename=semttulo3333
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão tal que
ab/bc = bc/cd = cd/de = de/ef = ....
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a:
semi circulos Scaled.php?server=840&filename=semttulo2nyb

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semi circulos Empty Re: semi circulos

Mensagem por Medeiros Sex 20 Jul 2012, 03:07

Isso tem a ver com o número FI de Fibonacci, com razão áurea. Vamos lá. Perceba que
BC + CD = BD -----> BC + CD = AB -----> CD = AB - BC

AB/BC = BC/CD ----> AB/BC = BC/(AB-BC)
BC^2 = AB^2 - AB*BC
para facilitar a leitura e transcrição, farei:
BC = x ...........(incógnita)
AB = m
x^2 + mx - m^2 = 0
Delta = m^2 + 4m^2 = 5m^2
x = (-m +- mV5)/2 -----> x = m[(-1 +- V5)/2]
mas
m = AB > 0
x = BC
então somente poderemos ter
BC = AB(V5-1)/2

Perceba, também, que os raios vão diminuindo em progressão geométrica. A razão dessa PG será:
q = BC/AB = (V5 - 1)/2

A soma pedida será
S = AB/(1-q)
e para AB = 2, temos:
S = 2/(1 - (V5-1)/2) ----> S = 4/(3-V5) ----> S = 4(3+V5)/4 ----> S = 3 + V5 ............(D)
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