[IME] Produtos Notáveis

por Nat' Qui 12 Jul 2012, 19:26

Gente, essa questão caiu muito parecida ou senão identica no IME o ano passado, eu não consegui fazer na hora da prova e nem estou conseguindo fazer agora, alguém pode me ajudar?

Simplifique a expressão:

a²(d-b)(d-c)/(a-b)(a-c) + b²(d-c)(d-a)/(b-c)(b-a) + c²(d-a)(d-b)/(c-a)(c-b)

Resp. d²

Obrigada!

por danjr5 Ter 31 Jul 2012, 19:10

Observação I: $(b - a)(b - c) = - (a - b)(b - c)$

Observação II: $(c - a)(c - b) = (a - c)(b - c)$

Verifique as observações acima!

$\frac{a^2(d - b)(d - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^2(d - c)(d - a)}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^2(d - a)(d - b)}{(c - a)(c - b)} = \\\\\\ \frac{a^2(d - b)(d - c)}{(a - b)(a - c)} - \frac{b^2(d - c)(d - a)}{(a - b)(b - c)} + \frac{c^2(d - a)(d - b)}{(a - c)(b - c)} =$

Numerador:

$a^2(b - c)(d^2 - dc - db + bc) - b^2(a - c)(d^2 - da - dc + ac) + c^2(a - b)(d^2 - db - da + ab) =$

Por partes, apenas com o intuito de melhorar a visualização, tranquilo?!

$\begin{cases}a^2(bd^2 {\color{Red} - bcd} - b^2d + b^2c - cd^2 + c^2d {\color{Red} + bcd} - bc^2) \\ - b^2(ad^2 - a^2d {\color{Red} - acd} + a^2c - cd^2 {\color{Red} + acd} + c^2d - ac^2) \\ c^2(ad^2 {\color{Red} - abd} - a^2d + a^2b - bd^2 + b^2d {\color{Red} + abd} - ab^2)\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}a^2bd^2 {\color{Red} - a^2b^2d} {\color{Green} + a^2b^2c} - a^2cd^2 {\color{Magenta} + a^2c^2d} {\color{DarkGreen} - a^2bc^2})\\ - ab^2d^2 {\color{Red} + a^2b^2d} {\color{Green} - a^2b^2c} + b^2cd^2 {\color{Blue} - b^2c^2d} {\color{Orange} + ab^2c^2})\\ ac^2d^2 {\color{Magenta} - a^2c^2d} {\color{DarkGreen} + a^2bc^2} - bc^2d^2 {\color{Blue} + b^2c^2d} {\color{Orange} - ab^2c^2})\end{cases}\\\\\\ \begin{cases} a^2d^2(b - c) \\ b^2d^2(c - a) \\ c^2d^2(a - b)\end{cases}$

Desenvolvendo o numerador...

$a^2d^2(b - c) + b^2d^2(c - a) + c^2d^2(a - b) = \\\\ d^2(a^2b - a^2c - ab^2 + b^2c + ac^2 - bc^2) = \\\\ d^2[ab(a - b) - ac(a - c) + bc(b - c)] = \\\\ d^2\left \{a \,[ \,b(a - b) - c(a - c)] + bc(b - c) \right \} = \\\\ d^2[a(ab - b^2 - ac + c^2) + bc(b - c)] = \\\\d^2\left \{a \,[ \,(ab - ac) - (b^2 - c^2)] + bc(b - c) \right \} = \\\\ d^2\left \{a \,[ \,a(b - c) - (b - c)(b + c)] + bc(b - c) \right \} = \\\\ d^2\left \{a(b - c) \,[ \,a - (b + c)] + bc(b - c) \right \} =$

$d^2[a(b - c)(a - b - c)+ bc(b - c)] = \\\\ d^2(b - c)[a(a - b - c) + bc] = \\\\ d^2(b - c)(a^2 - ab - ac + bc) = \\\\ d^2(b - c)(a^2 - ac - ab + bc) = \\\\ d^2(b - c)[a(a - c) - b(a - c)] = \\\\ \boxed{d^2(b - c)(a - c)(a - b)}$

Enfim,

$\frac{d^2(b - c)(a - c)(a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \\\\ {\color{Blue}\boxed{\boxed{d^2}}}$

UFA!!