Cálculo área de um quadrilátero

por petebest007 Dom 08 Jul 2012, 20:59

Segue o exercício !

Os pontos A (1,2), B (4,3), C (3,1) e D (m,n), nessa ordem, foram um paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do paralelogramo ABCD.

Bom, jogando os pontos no plano eu vi que AB//CD e AC//DB. Encontrei a equação da reta suporte de AC e vi que seu coeficiente angular vale -1/2. O coeficiente angular da reta suporte de AC = ao coeficiente angular da reta suporte de BD. Como tenho um ponto da reta de BD eu encontro a equação da reta BD. Tentando encontrar a equação da reta que passa por DB utilizando o determinante eu cheguei numa relação tal que eu tinha como coeficientes as incógnitas m e n. Aí depois, utilizei y-y0=m(x-x0) e cheguei na equação da reta. Depois encontrei m - 2 e n = 2. Mas mesmo assim não consegui encontrar a equação correta da reta que passa por AD. Alguém poderia me dizer o que fiz de errado? Ou há uma outra maneira de fazer? Obs: Consegui calcular a área.

por **Robson Jr.** Dom 08 Jul 2012, 22:48

O problema pode ser feito vetorialmente:

$\small \\ \text{Se A, B, C e D formam um paralelogramo nessa ordem:}\\\\D = C + \overrightarrow{BA} \Rightarrow D = (3,1)+(-3,-1) \Rightarrow D = (0,0) \\\\ \text{A reta AD é da forma }y=ax+b \text{. Como A e D pertencem a reta:} \\\\\left\{\begin{matrix} 2=a.1+b\\ 0=a.0+b \end{matrix}\right. \Rightarrow b=0 \ e \ a=2 \Rightarrow Reta \ y=2x \ (Resposta)$

$\small \\ \text{A área do paralelogramo será numericamente igual ao módulo do vetor }\overrightarrow{AB} \text{ x } \overrightarrow{AD}: \\ \overrightarrow{AB}=(3,1); \ \overrightarrow{AD}=(-1,-2) \\\\ \overrightarrow{AB}\text{ x }\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix} i &j &k \\ 3 &1 &0 \\ -1 &-2 &0 \end{vmatrix}= 0i+0j-5k \Rightarrow |\overrightarrow{AB}\text{ x }\overrightarrow{AD}|=5 \ u.a. \ (Resposta)$

por petebest007 Seg 09 Jul 2012, 00:22

Robson Jr. escreveu:O problema pode ser feito vetorialmente:

$Cálculo área de um quadrilátero Gif.latex?%5Csmall%20%5C%5C%20%5Ctext%7BSe%20A,%20B,%20C%20e%20D%20formam%20um%20paralelogramo%20nessa%20ordem:%7D%5C%5C%5C%5CD%20=%20C%20+%20%5Coverrightarrow%7BBA%7D%20%5CRightarrow%20D%20=%20%283,1%29+%28-3,-1%29%20%5CRightarrow%20D%20=%20%280,0%29%20%5C%5C%5C%5C%20%5Ctext%7BA%20reta%20AD%20%C3%A9%20da%20forma%20%7Dy=ax+b%20%5Ctext%7B.%20Como%20A%20e%20D%20pertencem%20a%20reta:%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%202=a.1+b%5C%5C%200=a.0+b%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

$Cálculo área de um quadrilátero Gif.latex?%5Csmall%20%5C%5C%20%5Ctext%7BA%20%C3%A1rea%20do%20paralelogramo%20ser%C3%A1%20numericamente%20igual%20ao%20m%C3%B3dulo%20do%20vetor%20%7D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%5Ctext%7B%20x%20%7D%20%5Coverrightarrow%7BAD%7D:%20%5C%5C%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D=%283,1%29;%20%5C%20%5Coverrightarrow%7BAD%7D=%28-1,-2%29%20%5C%5C%5C%5C%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D%5Ctext%7B%20x%20%7D%5Coverrightarrow%7BAD%7D=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20i%20&j%20&k%20%5C%5C%203%20&1%20&0%20%5C%5C%20-1%20&-2%20&0%20%5Cend%7Bvmatrix%7D=%200i+0j-5k%20%5CRightarrow%20%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%5Ctext%7B%20x%20%7D%5Coverrightarrow%7BAD%7D%7C=5%20%5C%20u.a$

Amigo, obrigado pela resolução ! Mas eu ainda não estudei vetores. Se importa de resolver (ou me ajudar a resolver) utilizando conhecimentos do ensino médio? Muito grato !

por petebest007 Seg 09 Jul 2012, 13:14

Consegui resolver. O problema é que eu desenhei errado o paralelogramo. Desenhando o paralelogramo eu vi que BC é paralela a AD e como o coeficiente angular de AB = ao de AB eu encontro a reta de AD.

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