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Mensagem por Lilian Cristina da Costa em Ter 03 Jul 2012, 16:01

Estou com dificuldade para encontrar a imagem da função racional, alguém pode me ajudar?

f(x) =( x^4 - 3x^3 -6x^2 + 7x - 6 ) / ( x^4 + 4x^3 -5x )
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Mensagem por Elcioschin em Ter 03 Jul 2012, 16:30

x^4 + 4x^3 - 5x = x*(x^3 + 4x² - 5)

Raízes do denominador:

x = 0
x^3 + 4x² - 5 = 0 ----> (x - 1)*(x² + 5x + 5) ---> Raiz real x = 1

A função não existe para x = 0 e x = 1
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Mensagem por Robson Jr. em Ter 03 Jul 2012, 16:46

@Elcioschin escreveu:x^4 + 4x^3 - 5x = x*(x^3 + 4x² - 5)

Raízes do denominador:

x = 0
x^3 + 4x² - 5 = 0 ----> (x - 1)*(x² + 5x + 5) ---> Raiz real x = 1

A função não existe para x = 0 e x = 1

Elcio, x²+5x+5 também tem raízes reais. O senhor quis dizer "raíz racional x = 1"?


http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+x%5E4+-+3x%5E3+-6x%5E2+%2B+7x+-+6+%29+%2F+%28+x%5E4+%2B+4x%5E3+-5x+%29

Conforme o plotador acima, a imagem da função abrange todo o conjunto dos números reais. Não vejo, porém, como chegar manualmente a essa conclusão, senão provando que a seguinte equação tem sempre solução:



Mas isso somente seria válido para domínio real. Você, todavia, limita o domínio ao dizer "função racional", fazendo, ao meu ver, com que estabelecer a imagem da função se torne ainda menos óbvio.

Quem sabe outro usuário possa esclarecer melhor...
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Mensagem por Elcioschin em Ter 03 Jul 2012, 17:04

Robson

Você está correto: eu imaginei, erradamente (sem fazer a conta) que as outras duas raízes não eram reais.

Assim, a função TAMBÉM não existe para as raízes de x² + 5x + 5 = 0

∆ = 5² - 4*1*5 -----> ∆ = 5

Raízes ---- > x = (- 5 - \/5)/2 e x = (- 5 + \/5)/2

E quanto à imagem é o conjunto dos reais
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Mensagem por Robson Jr. em Ter 03 Jul 2012, 17:07

Elcio, supondo domínio real como justifico que a imagem de fato é lR?

E no caso suposto pela Lilian -- domínio racional -- como a imagem poderia ser encontrada?
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Mensagem por Elcioschin em Ter 03 Jul 2012, 17:18

Robson

A análise do denominador serve apenas para definir o domínio: neste problema o domínio é o conjunto dos reais MENOS os pontos de inflexão que são as 4 raízes encontradas.

Quanto à imagem ela é definida por duas funções polinomiais do 4º grau: uma do numerador e outra do denominador.

As funções polinomiais são sempre contínuas, logo elas existem em TODOS os pontos no intervalo - infinito a + infinito. Isto é, a imagem é o conjunto dos reais.

Acho que a imagem neste caso não pode ser definida para domínio racional
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Mensagem por Lilian Cristina da Costa em Ter 03 Jul 2012, 17:50

Agradeço muito a vocês, ajudou bastante. No trabalho, coloquei que a imagem é o conjunto dos reais, mas depois me bateu uma dúvida.
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Mensagem por Robson Jr. em Ter 03 Jul 2012, 18:10

@Elcioschin escreveu:
Acho que a imagem neste caso não pode ser definida para domínio racional

Associei erradamente "função racional" com "função de domínio racional". Função racional é aquela da forma f(x)=g(x)/h(x).

@Elcioschin escreveu:
As funções polinomiais são sempre contínuas, logo elas existem em TODOS os pontos no intervalo - infinito a + infinito. Isto é, a imagem é o conjunto dos reais.

Entendo que todo polinômio é uma função contínua. Também entendo que a continuidade do polinômio implica em haver imagem para todo elemento do domínio, de menos infinito a mais infinito. Não vejo, todavia, como essa continuidade implica em a imagem ser necessariamente lR. Por exemplo, p(x) = x²+2012 é continua e tem como imagem apenas um subconjunto dos reais.

De modo parecido, compreendo que em f(x) = (x^4-3x³-6x²+7x-6)/(x^4+4x³-5x) tanto o numerador quando o denominador abrangem, individualmente, todo o conjunto dos números reais em suas imagens. Agora, não vejo como garantir que sempre haverá um x tal que o quociente f(x) -- uma função descontínua -- assuma o valor real desejado.

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Mensagem por Elcioschin em Ter 03 Jul 2012, 19:08

Robson

Desculpe-me, eu omiti um fato importante, na definição:

Toda função polinomial de 1º grau e grau MAIOR que 2 tem imagem de - infinito a + infinito.

Isto porque a função do 2º grau (parábola) é limitada pelo seu vértice:

1) Se tiver concavidade voltada para cima ela é limitada inferiormente pelo vértice

2) Se tiver concavidade voltada para cbaiso ela é limitada superiormente pelo vértice
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Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por Robson Jr. em Ter 03 Jul 2012, 19:35

Entendi. Vou procurar a demonstração disso.

Obrigado, Elcio!
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