Equação - (soluções inteiras)

Quantas soluções inteiras tem a equação: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20, se cada xi >= 3 para todo i E { 1, 2, 3, 4, 5}?

Hola.

Se x1≥ 3, x2≥ 3, x3≥ 3, x4≥ 3, x5≥ 3, podemos reescrever o exercício da seguinte maneira:

Note que:

x1≥ 3 ==> x1 - 3 ≥ 0
x2≥ 3 ==> x2 - 3 ≥ 0
x3≥ 3 ==> x3 - 3 ≥ 0
x4≥ 3 ==> x4 - 3 ≥ 0
x5≥ 3 ==> x5 - 3 ≥ 0, vamos fazer a seguinte mudança:

A = x1 - 3, daí temos que: x1 = A + 3
B = x2 - 3, daí temos que: x2 = B + 3
C = x3 - 3, daí temos que: x3 = C + 3
D = x4 - 3, daí temos que: x4 = D + 3
E = x5 - 3, daí temos que: x5 = E + 3, substituindo na equação original, fica:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20
A + 3 + B + 3 + C + 3 + D + 3 + E + 3 = 20
A + B + C + D + E + 5*3 = 20
A + B + C + D + E = 20 - 15
A + B + C + D + E = 5, e agora x_i tem como única condição
ser maior do que 0.

Calculando o número de soluções inteiras não negativas dessa equação, temos:

C(5+5-1), (5-1) = C9,4 = 9!/4!5! = 126

Fiquei um tempão tentando inventar uma fórmula para isso e não consegui. Você resolveu tão facilmente.
Obrigado!

Outra forma de pensar: Cada número x deve receber no mínimo 3 unidades das 20, como são 5 números x 3*5=15. Restam, efetivamente, só 5 unidades pra serem distribuídas entre os 5 números, (u u u u u | | | |) -> 9!/5!4!=126

Paulo Testoni escreveu:Hola.

Se x1≥ 3, x2≥ 3, x3≥ 3, x4≥ 3, x5≥ 3, podemos reescrever o exercício da seguinte maneira:

Note que:

x1≥ 3 ==> x1 - 3 ≥ 0
x2≥ 3 ==> x2 - 3 ≥ 0
x3≥ 3 ==> x3 - 3 ≥ 0
x4≥ 3 ==> x4 - 3 ≥ 0
x5≥ 3 ==> x5 - 3 ≥ 0, vamos fazer a seguinte mudança:

A = x1 - 3, daí temos que: x1 = A + 3
B = x2 - 3, daí temos que: x2 = B + 3
C = x3 - 3, daí temos que: x3 = C + 3
D = x4 - 3, daí temos que: x4 = D + 3
E = x5 - 3, daí temos que: x5 = E + 3, substituindo na equação original, fica:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20
A + 3 + B + 3 + C + 3 + D + 3 + E + 3 = 20
A + B + C + D + E + 5*3 = 20
A + B + C + D + E = 20 - 15
A + B + C + D + E = 5, e agora x_i tem como única condição
ser maior do que 0.

Calculando o número de soluções inteiras não negativas dessa equação, temos:

C(5+5-1), (5-1) = C9,4 = 9!/4!5! = 126

Que solução bonita, tinha garrado nela e não sabia o que fazer. Obrigado!