Somatório

Demostre que:

S = ∑_n=0..inf ( n²/2ⁿ ) = ∑_n=1..inf ( n²/2ⁿ )

-->

S = ∑_n=0..inf ( (n+1)²/2ⁿ⁺¹ )

2S - S = S

2 (∑_n=0..inf ((n+1)²/2ⁿ⁺¹) ) - ∑_n=0..inf (n²/2ⁿ) = S

∑_n=0..inf (2(n+1)²/2ⁿ⁺¹) - ∑_n=0..inf (n²/2ⁿ) = S

∑_n=0..inf ((n+1)²/2ⁿ) - ∑_n=0..inf (n²/2ⁿ) = S

∑_n=0..inf ( ( (n+1)² - n² ) / 2ⁿ ) = S

∑_n=0..inf ( ( n² + 2n + 1 - n² ) / 2ⁿ ) = S

∑_n=0..inf ( (2n+1) / 2ⁿ ) = S

∑_n=0..inf (2n/2ⁿ) + ∑_n=0..inf (1/2ⁿ) = S

∑_n=0..inf (1/2ⁿ) = 2 <--- (Soma P.G.)

∑_n=0..inf (2n/2ⁿ) = 2 ∑_n=0..inf (n/2ⁿ)

∑_n=0..inf (n/2ⁿ) = S' = ?

∑_n=0..inf (n/2ⁿ) = ∑_n=1..inf (n/2ⁿ)

-->

∑_n=0..inf ((n+1)/2ⁿ⁺¹) =∑_n=0..inf (n/2ⁿ)

2S' - S' = S'

2∑_n=0..inf ((n+1)/2ⁿ⁺¹) - ∑_n=0..inf (n/2ⁿ) = S'

∑_n=0..inf (2(n+1)/2ⁿ⁺¹) - ∑_n=0..inf (n/2ⁿ) = S'

∑_n=0..inf ((n+1)/2ⁿ) - ∑_n=0..inf (n/2ⁿ) = S'

∑_n=0..inf ( (n+1)/2ⁿ - n/2ⁿ) [/size][/size]= S'

∑_n=0..inf ( (n+1-n)/2ⁿ ) = S'

∑_n=0..inf ( 1/2ⁿ ) = S' <--- (Soma P.G.)

S' = 2

2S' = 4

S = 2 + 4

S = 6 ■

Fiz usando a ideia de pag, mas parece ser mesma coisa que o rihan fez com notação de somatório...
S = 1²/2^1 + 2²/2² + 3² /2³ + 4²/2^4 + 5²/2^5 +.... (1)
Tu tem na soma o produto de uma pg com uma pa². Pode tentar forçar uma pag ( multiplica pela razão da pg e substrai).

S.(1/2) = 1²/2² + 2²/2³ + 3²/2^4 + ... (2)

(1) - (2):
S - S/2 = 1²/2^1 + (2²/2² - 1²/2²) + (3²/2³ - 2²/2³ ) + ....
S/2 =1/2 + 3/2² + 5/2³ + ... (3)

usando a mesma ideia novamente:
S/2 (.1/2) = 1/2² + 3/2³ + 5/2^4 +... (4)

(3) - (4) :
S/4 = 1/2² + (3/2² - 1/2²) + (5/2³ - 4/2³ ) +...
S/4 = 1/2 + 2( 1/2² + 1/2³ + 1/2^4 + ...)
S/4 + 1/2 + 2(pg infinita)
S/4 = 1/2 + 2(1/2)
S = 6