Números Complexos
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Números Complexos
Gostaria que alguém me explicasse de que forma, a partir de uma das raízes cúbicas de um número complexo, eu posso descobrir as outras duas.
Grato.
Grato.
guilhermecodean- Iniciante
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Re: Números Complexos
Usando Ruffine descobrimos as raízes remanescentes.
Adam Zunoeta- Monitor
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Data de inscrição : 25/08/2010
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Re: Números Complexos
Adam Zunoeta escreveu:Usando Ruffine descobrimos as raízes remanescentes.
No caso Ruffini não serve.
Vou colocar o exercício aqui pra ficar mais claro:
Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é 3 + 4i. O produto das outras raízes cúbicas de z é:
R: -7 + 24i
guilhermecodean- Iniciante
- Mensagens : 47
Data de inscrição : 30/03/2012
Idade : 31
Localização : São Paulo
Re: Números Complexos
Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é 3 + 4i. O produto das outras raízes cúbicas de z é:
R: -7 + 24i
Interpretação Geometrica da radiciação:
Dado um complexo z=|z|*cis(teta) # 0
Os afixos de suas raízes enésimas são pontos do plano Argand-Gauss que pertencem a uma circunferência com centro na origem e raio :
E dividem a circunferência em "n" partes iguais. Assim, sendo, os afixos das raízes enésimas de "z" são os vértices de um polígono regular de "n" lados (n>=3) inscrito numa circunferência de raio:
Fonte : Livro do Objetivo
No nosso caso, como são raízes cúbicas, temos:
360°/3 = 120°
z1=3 + 4i ---> z=|z|*cis(teta)
|z|=V(3²+4²)=5
cos(teta)=3/5 ---> teta= 53° ---> (aproximando)
Primeira Coordenada:
z=5*cis(53°)
A segunda coordenada:
z2=5*cis(teta+120°) ----> z=5*cis(173°)
A terceira coordenada:
z3=5*cis(173°+120°)=5*cis(293°)
Queremos o produto de (z2)*(z3), então:
(z2)*(z3)=5*5*cis(293°+173°)=25*cis(466°)
(z2)*(z3)=25*[cos466°+isen466°]= -7 + 24i
Tem alguns livros que adotam:
sen37°=3/5
E alguns outros valores ...além dos usuais (30°,45°,60°).
R: -7 + 24i
Interpretação Geometrica da radiciação:
Dado um complexo z=|z|*cis(teta) # 0
Os afixos de suas raízes enésimas são pontos do plano Argand-Gauss que pertencem a uma circunferência com centro na origem e raio :
E dividem a circunferência em "n" partes iguais. Assim, sendo, os afixos das raízes enésimas de "z" são os vértices de um polígono regular de "n" lados (n>=3) inscrito numa circunferência de raio:
Fonte : Livro do Objetivo
No nosso caso, como são raízes cúbicas, temos:
360°/3 = 120°
z1=3 + 4i ---> z=|z|*cis(teta)
|z|=V(3²+4²)=5
cos(teta)=3/5 ---> teta= 53° ---> (aproximando)
Primeira Coordenada:
z=5*cis(53°)
A segunda coordenada:
z2=5*cis(teta+120°) ----> z=5*cis(173°)
A terceira coordenada:
z3=5*cis(173°+120°)=5*cis(293°)
Queremos o produto de (z2)*(z3), então:
(z2)*(z3)=5*5*cis(293°+173°)=25*cis(466°)
(z2)*(z3)=25*[cos466°+isen466°]= -7 + 24i
Tem alguns livros que adotam:
sen37°=3/5
E alguns outros valores ...além dos usuais (30°,45°,60°).
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Números Complexos
Adam eu fiz exatamente o que este livro do Objetivo disse
Se uma das raízes é 3 + 4i
fiz ∛Z=3 + 4i
Mas depois disso achei Z e apliquei na segunda formula de Moivre para achar as raízes mas nao consegui achar o θ
No caso nao daria certo se fizesse da forma que fiz???
Se uma das raízes é 3 + 4i
fiz ∛Z=3 + 4i
Mas depois disso achei Z e apliquei na segunda formula de Moivre para achar as raízes mas nao consegui achar o θ
No caso nao daria certo se fizesse da forma que fiz???
Bruna Barreto- Fera
- Mensagens : 1621
Data de inscrição : 30/03/2011
Idade : 29
Localização : Rio de janeiro
Re: Números Complexos
z = 3 + 4i => a = 3 e b = 4
Como são 3 raízes, teremos um triângulo equilátero numa circunferência de raio |z|.
Conectando-se os pontos ao centro, tem-se um ângulo central de 120º
deslocando-se z 120º tem-se
a = a' cos 120º - b' sen 120° => 3 = (-a'/2)- [(b' √3)/2]=> a' = (-b √3) - 6 -->(I)
b = a'sen 120º + b' cos 120º => - b' = 8 - a'√3
resolvendo o sistema:
a' = (-3 + 4√3)/2
b' = (-4 - 3√3)/2
z' = [(-3 + 4√3)/2] + [ (-4 - 3√3)/2]*i
agora o mesmo raciocínio para o outro número complexo
a' = a''cos 120º - b''sen 120º
b' = a''sen 120º + b''cos 120º
resolvendo o sistema:
a'' = [(-3 - 4√3)/2]
b'' = [(-4 + 3√3)/2]
z'' = [(-3 - 4√3)/2] + [(-4 + 3√3)/2]*i
z' * z'' = 24i - 7
Como são 3 raízes, teremos um triângulo equilátero numa circunferência de raio |z|.
Conectando-se os pontos ao centro, tem-se um ângulo central de 120º
deslocando-se z 120º tem-se
a = a' cos 120º - b' sen 120° => 3 = (-a'/2)- [(b' √3)/2]=> a' = (-b √3) - 6 -->(I)
b = a'sen 120º + b' cos 120º => - b' = 8 - a'√3
resolvendo o sistema:
a' = (-3 + 4√3)/2
b' = (-4 - 3√3)/2
z' = [(-3 + 4√3)/2] + [ (-4 - 3√3)/2]*i
agora o mesmo raciocínio para o outro número complexo
a' = a''cos 120º - b''sen 120º
b' = a''sen 120º + b''cos 120º
resolvendo o sistema:
a'' = [(-3 - 4√3)/2]
b'' = [(-4 + 3√3)/2]
z'' = [(-3 - 4√3)/2] + [(-4 + 3√3)/2]*i
z' * z'' = 24i - 7
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: Números Complexos
Muito obrigado aos dois pela ajuda!
guilhermecodean- Iniciante
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Data de inscrição : 30/03/2012
Idade : 31
Localização : São Paulo
Re: Números Complexos
De nada, fico feliz em ajudar!!
Bons estudos!!!!
Bons estudos!!!!
Leandro!- Mestre Jedi
- Mensagens : 963
Data de inscrição : 12/07/2011
Idade : 32
Localização : Rio de Janeiro - RJ
Re: Números Complexos
Uma das raízes cúbcas de um número complexo z é ³\/z = 3 + 4i. Como calculara as outras duas raízes:
z = |z|*(cosθ + i*senθ)
³\/z = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + k*360º)/3 + i*sen(θ + k*360º/3)]
Raízes:
Para k = 0 ----> z' = [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3) + i*sen(θ/3)]
Para k = 1 ----> z" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 1*360º)/3 + i*sen(θ + 1*360º)/3] ----> z" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 120º) + i*sen(θ/3 + 120º)]
Para k= 2 -----> z'" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 2*360º)/3 + i*sen(θ + 2*360º)/3] ----> z'" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 240º) + i*sen(θ/3 + 240º)]
Basta agora igualar cada uma das raízes com 3 + 4i = 5*(3/5 + i*4/5) e descobrir os valores correpondente de θ.
É bastante trabalhoso
z = |z|*(cosθ + i*senθ)
³\/z = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + k*360º)/3 + i*sen(θ + k*360º/3)]
Raízes:
Para k = 0 ----> z' = [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3) + i*sen(θ/3)]
Para k = 1 ----> z" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 1*360º)/3 + i*sen(θ + 1*360º)/3] ----> z" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 120º) + i*sen(θ/3 + 120º)]
Para k= 2 -----> z'" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 2*360º)/3 + i*sen(θ + 2*360º)/3] ----> z'" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 240º) + i*sen(θ/3 + 240º)]
Basta agora igualar cada uma das raízes com 3 + 4i = 5*(3/5 + i*4/5) e descobrir os valores correpondente de θ.
É bastante trabalhoso
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
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