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Números Complexos

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Mensagem por guilhermecodean Qui 14 Jun 2012, 15:57

Gostaria que alguém me explicasse de que forma, a partir de uma das raízes cúbicas de um número complexo, eu posso descobrir as outras duas.


Grato.

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Mensagem por Adam Zunoeta Qui 14 Jun 2012, 16:13

Usando Ruffine descobrimos as raízes remanescentes.

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Mensagem por guilhermecodean Qui 14 Jun 2012, 16:19

Adam Zunoeta escreveu:Usando Ruffine descobrimos as raízes remanescentes.


No caso Ruffini não serve.

Vou colocar o exercício aqui pra ficar mais claro:

Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é 3 + 4i. O produto das outras raízes cúbicas de z é:

R: -7 + 24i

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Mensagem por Adam Zunoeta Qui 14 Jun 2012, 20:27

Uma das raízes cúbicas de um número complexo z é 3 + 4i. O produto das outras raízes cúbicas de z é:

R: -7 + 24i

Interpretação Geometrica da radiciação:
Dado um complexo z=|z|*cis(teta) # 0

Os afixos de suas raízes enésimas são pontos do plano Argand-Gauss que pertencem a uma circunferência com centro na origem e raio :


E dividem a circunferência em "n" partes iguais. Assim, sendo, os afixos das raízes enésimas de "z" são os vértices de um polígono regular de "n" lados (n>=3) inscrito numa circunferência de raio:


Fonte : Livro do Objetivo

No nosso caso, como são raízes cúbicas, temos:

360°/3 = 120°

z1=3 + 4i ---> z=|z|*cis(teta)

|z|=V(3²+4²)=5

cos(teta)=3/5 ---> teta= 53° ---> (aproximando)

Primeira Coordenada:

z=5*cis(53°)

A segunda coordenada:

z2=5*cis(teta+120°) ----> z=5*cis(173°)

A terceira coordenada:

z3=5*cis(173°+120°)=5*cis(293°)

Queremos o produto de (z2)*(z3), então:

(z2)*(z3)=5*5*cis(293°+173°)=25*cis(466°)

(z2)*(z3)=25*[cos466°+isen466°]= -7 + 24i

Tem alguns livros que adotam:

sen37°=3/5

E alguns outros valores ...além dos usuais (30°,45°,60°).
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Mensagem por Bruna Barreto Qui 14 Jun 2012, 20:35

Adam eu fiz exatamente o que este livro do Objetivo disse
Se uma das raízes é 3 + 4i
fiz ∛Z=3 + 4i
Mas depois disso achei Z e apliquei na segunda formula de Moivre para achar as raízes mas nao consegui achar o θ
No caso nao daria certo se fizesse da forma que fiz???

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Mensagem por Leandro! Qui 14 Jun 2012, 21:03

z = 3 + 4i => a = 3 e b = 4

Como são 3 raízes, teremos um triângulo equilátero numa circunferência de raio |z|.

Conectando-se os pontos ao centro, tem-se um ângulo central de 120º

deslocando-se z 120º tem-se
a = a' cos 120º - b' sen 120° => 3 = (-a'/2)- [(b' √3)/2]=> a' = (-b √3) - 6 -->(I)
b = a'sen 120º + b' cos 120º => - b' = 8 - a'√3
resolvendo o sistema:
a' = (-3 + 4√3)/2
b' = (-4 - 3√3)/2

z' = [(-3 + 4√3)/2] + [ (-4 - 3√3)/2]*i

agora o mesmo raciocínio para o outro número complexo
a' = a''cos 120º - b''sen 120º
b' = a''sen 120º + b''cos 120º
resolvendo o sistema:
a'' = [(-3 - 4√3)/2]
b'' = [(-4 + 3√3)/2]
z'' = [(-3 - 4√3)/2] + [(-4 + 3√3)/2]*i

z' * z'' = 24i - 7

Leandro!
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Mensagem por guilhermecodean Qui 14 Jun 2012, 21:36

Muito obrigado aos dois pela ajuda!

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Mensagem por Leandro! Sex 15 Jun 2012, 05:26

De nada, fico feliz em ajudar!!

Bons estudos!!!!

Leandro!
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Mensagem por Elcioschin Dom 17 Jun 2012, 15:25

Uma das raízes cúbcas de um número complexo z é ³\/z = 3 + 4i. Como calculara as outras duas raízes:

z = |z|*(cosθ + i*senθ)

³\/z = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + k*360º)/3 + i*sen(θ + k*360º/3)]

Raízes:

Para k = 0 ----> z' = [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3) + i*sen(θ/3)]

Para k = 1 ----> z" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 1*360º)/3 + i*sen(θ + 1*360º)/3] ----> z" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 120º) + i*sen(θ/3 + 120º)]

Para k= 2 -----> z'" = [|z|^(1/3)]*[cos(θ + 2*360º)/3 + i*sen(θ + 2*360º)/3] ----> z'" [|z|^(1/3)]*[cos(θ/3 + 240º) + i*sen(θ/3 + 240º)]

Basta agora igualar cada uma das raízes com 3 + 4i = 5*(3/5 + i*4/5) e descobrir os valores correpondente de θ.

É bastante trabalhoso
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