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Progressão geométrica - fórmula do produto

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Progressão geométrica - fórmula do produto Empty Progressão geométrica - fórmula do produto

Mensagem por narafernandes Qua 13 Jun 2012, 18:29

(FUVEST) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a raiz de 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 2^39 (2 elevado a 39), então o número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Alguém poderia me ajudar na resolução?

narafernandes
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Progressão geométrica - fórmula do produto Empty Re: Progressão geométrica - fórmula do produto

Mensagem por Elcioschin Qua 13 Jun 2012, 19:24

O dado 2^39 está errado. O correto deve ser 2^78

P = (a1)*)a2)*(a3)*(a4)* ...................*an

P = 1*(2^1)*(2^2)*(2^3)* ............... *2^(n - 1)

P = 2^[1 + 2 + 3 + .........+ (n - 1)]

No expoente temos a soma dos termos da PA com a1 = 1, r = 1, an = n -1

Soma dos termos ----> S = (a1 + an)*n/2 ----> S = [1 + (n - 1)]*(n - 1)2 ----> S = n*(n - 1)/2

2^[n*(n - 1)/2] = 2^39 -----> n*(n - 1)/2 = 39 -----> n*(n - 1)= 78 -----> Solução não inteira

Se for 2^78:

2^[n*(n - 1)/2] = 2^78 -----> n*(n - 1)/2 = 78 -----> n*(n - 1)= 156 ----> n = 13

Logo são (n - 1) = 12 termos:

1 + 2 + 3 + 4 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78
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Progressão geométrica - fórmula do produto Empty Re: Progressão geométrica - fórmula do produto

Mensagem por narafernandes Qua 13 Jun 2012, 19:39

Obrigada! A resposta bate, é 13 mesmo. Então minha apostila do cursinho está errada no enunciado, aqui tá mesmo 2 elevado a 39...

narafernandes
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Progressão geométrica - fórmula do produto Empty Re: Progressão geométrica - fórmula do produto

Mensagem por Luck Qua 13 Jun 2012, 20:31

Estranho , pela fórmula de produto de PG finita se n errei em conta, com 2^39 está dando certinho:

P² = (a1.an)^n
a1 = 1
q= √2

an = a1.q^(n-1)
an = 1(√2)^(n-1)
an = 2^(1/2)^(n-1)
an = 2^[(n-1)/2]

(2^(39))² =( 1.2^[(n-1)/2] )^n
2^78 = 2^( n(n-1)/2 )
78 = n(n-1)/2
n(n-1) = 156
n = 13
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Progressão geométrica - fórmula do produto Empty Re: Progressão geométrica - fórmula do produto

Mensagem por Elcioschin Qui 14 Jun 2012, 10:06

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Deu certo porque você usou a razão correta q = √2

Eu usei a razão errada q = 2
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