Demonstração trapézio isósceles
3 participantes
Página 1 de 1
Demonstração trapézio isósceles
No ∆ABC a seguir, M1, M2 e M3 são pontos médios dos lados do triângulo e AD é a altura relativa ao lado BC. Prove que o trapézio M1DM2M3 é isósceles.
[img] [/img]
Obs.: Trapézio isósceles é aquele em que os lados não paralelos tem medidas iguais. No caso desta questão, teria que ser demonstrado que M2D = M3M1.
Bom, meu raciocínio inicial foi o seguinte:
Consideremos inicialmente que M2M3 // DM1 (paralelo).
Sendo M2 e M3 os pontos médios dos lados do triângulo, o segmento M2M3 é a base média do triângulo, e portanto:
M2M3 = CB/2
Logo, vemos que:
M2M3 = CM1, pois M1 é ponto médio do lado CB.
Bom, então temos que M2M3M1C é um paralelogramo. Isso implica obviamente que: CM2 = M3M1
Se eu conseguisse provar que CM2 = M2D, a demonstração estaria concluída. Entretanto, não obtive sucesso. Alguém poderia me ajudar nisso, ou mostrar um outro caminho que eu não tenha percebido, para fazer a demonstração ?
[img] [/img]
Obs.: Trapézio isósceles é aquele em que os lados não paralelos tem medidas iguais. No caso desta questão, teria que ser demonstrado que M2D = M3M1.
Bom, meu raciocínio inicial foi o seguinte:
Consideremos inicialmente que M2M3 // DM1 (paralelo).
Sendo M2 e M3 os pontos médios dos lados do triângulo, o segmento M2M3 é a base média do triângulo, e portanto:
M2M3 = CB/2
Logo, vemos que:
M2M3 = CM1, pois M1 é ponto médio do lado CB.
Bom, então temos que M2M3M1C é um paralelogramo. Isso implica obviamente que: CM2 = M3M1
Se eu conseguisse provar que CM2 = M2D, a demonstração estaria concluída. Entretanto, não obtive sucesso. Alguém poderia me ajudar nisso, ou mostrar um outro caminho que eu não tenha percebido, para fazer a demonstração ?
Thvilaça- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 148
Data de inscrição : 23/06/2011
Localização : São Paulo - SP
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Demonstração trapézio isósceles
Olá Medeiros.
Só queria entender porque 1 e 3 seriam triângulos congruentes ?
Por exemplo, considerando P o ponto de interseção do segmento AD com M₂M₃, só dá pra concluir da figura que :
* M₂^PD = M₂^PA = 90°
* M₂P é igual para os dois triângulos, 1 e 3.
Precisa de mais uma condição...
Estou perguntando isso, porque:
Se AM₂ = M₂D (e como CM₂ = M₂A) então CM₂ = M₂D !
Só queria entender porque 1 e 3 seriam triângulos congruentes ?
Por exemplo, considerando P o ponto de interseção do segmento AD com M₂M₃, só dá pra concluir da figura que :
* M₂^PD = M₂^PA = 90°
* M₂P é igual para os dois triângulos, 1 e 3.
Precisa de mais uma condição...
Estou perguntando isso, porque:
Se AM₂ = M₂D (e como CM₂ = M₂A) então CM₂ = M₂D !
Thvilaça- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 148
Data de inscrição : 23/06/2011
Localização : São Paulo - SP
Re: Demonstração trapézio isósceles
Thvilaça
Os triângulos 1 e 3 são congruentes porque:
a) São retângulos
b) Tem a mesma base (o cateto M2P)
c) Tem a mesma altura (cateto AP = cateto DP = AD/2)
Os triângulos 1 e 3 são congruentes porque:
a) São retângulos
b) Tem a mesma base (o cateto M2P)
c) Tem a mesma altura (cateto AP = cateto DP = AD/2)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Demonstração trapézio isósceles
Thvilaça,
é como o Élcio explicou. Todos os triângulos são do caso LAL.
Como M2 e M3 são pontos médios, resulta que a altura AD é "cortada" ao meio.
Um abraço.
é como o Élcio explicou. Todos os triângulos são do caso LAL.
Como M2 e M3 são pontos médios, resulta que a altura AD é "cortada" ao meio.
Um abraço.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Demonstração trapézio isósceles
Medeiros escreveu:Thvilaça,
é como o Élcio explicou. Todos os triângulos são do caso LAL.
Como M2 e M3 são pontos médios, resulta que a altura AD é "cortada" ao meio.
Tá certo, se M2 = M3, M2M3 é base média e AP = PD. Nossa, eu tinha colocado esse negócio da base média lá em cima, e nem tinha me tocado. Me distrai, obrigado Medeiros e Elcioschin, novamente!
Thvilaça- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 148
Data de inscrição : 23/06/2011
Localização : São Paulo - SP
Tópicos semelhantes
» trapézio isósceles
» trapezio isosceles
» Trapézio Isósceles
» Trapézio isósceles !
» Trapézio isósceles
» trapezio isosceles
» Trapézio Isósceles
» Trapézio isósceles !
» Trapézio isósceles
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos