Ângulos num triângulo

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Mensagem por Thvilaça em Qui 07 Jun 2012, 11:29

Considerando AB = AC = AD, calcule α e β.

[img]Ângulos num triângulo Considerandoabac [/img]

Resposta:
α = 15°
β = 25°

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Mensagem por Elcioschin em Qui 07 Jun 2012, 12:49

Bemtrabalhoso

Sejam AB = AC = AD = a, CD = b, BD = c, BC = d

Triângulos ABC, ACD e ABD são isósceles:

A^BC = A^CB = (180- 50)/2 = 65
A^CD = A^DC = (180 - 30)/2 = 75

d/sen50 = a/sen65º ----> d = a*sen50/sen65 ----> I

b/sen30 = a/sen75º ---> b = a*sen30/sen75 ----> II

I : II -----> d/b = sen50*sen75º/sen30º*sen65º ---- III

No tiângulo BCD: d/senβ = b/senα -----> d/b = senβ /senα ----> IV

senβ /senα = sen50*sen75º/sen30º*sen65º -----> V

Já temos uma relação entre β , α. Falta arrumar outra

Tente continuar
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Mensagem por Medeiros em Qui 07 Jun 2012, 17:18

se AB=AC=AD, então esses segmentos são raios de uma circunferência com centro em A, sendo que B, C e D estão sobre a circunferência.

sendo ∠BAC=50º o ângulo central -----> ∠beta vale a metade pois é externo -----> Beta=25º
sendo ∠CAD=30º o ângulo central -----> ∠alfa vale a metade pois é externo -----> Alfa=15º
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Mensagem por Elcioschin em Qui 07 Jun 2012, 18:00

Belíssima e elegante solução Medeiros. Parabéns
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Mensagem por Thvilaça em Sex 08 Jun 2012, 12:16

Oh, desculpa Elcioschin, ontem eu até entrei e olhei a sua resolução.
Tentei obter uma nova relação entre α e β de várias formas. Tentei usar a lei dos cossenos, fazer β = 40-α, e substituir naquela relação, enfim...
Como não obtive resultado, acabei desistindo da questão, e deixando ela de lado, para tentar depois. De qualquer forma, obrigado pela ajuda!

Obrigado também Medeiros. Essa resolução foi bastante simples, e o que é melhor, dispensa o uso de calculadora (Na solução anterior, acho que seria necessário a calculadora, mesmo que apelássemos pra seno da soma e diferença de arcos, etc.)

Só ia te perguntar uma coisa Medeiros: Você disse que beta é ângulo externo, seria o mesmo que dizer que é ângulo inscrito ?

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Mensagem por Medeiros em Sex 08 Jun 2012, 14:45

@Elcioschin escreveu:Belíssima e elegante solução Medeiros. Parabéns
Obrigado, Élcio. Mas nem tanto, apenas tive a sorte de visualizar o feijão-com-arroz.

Thvilaça,
não sei o que entender por "ângulo inscrito". Este ao qual me refiro é o ângulo com vértice sobre a circunferência.

ADENDO: Thvilaça, sou muito ruim de terminologia. Me parece que o nome apresentado por você, "ângulo inscrito", é o certo e se adequa melhor pois entende-se um ângulo inscrito numa circunferência.
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