Fatoração - Demonstração de identidade

por Thvilaça Qua 30 maio 2012, 19:02

Demonstre a identidade a seguir considerando a, b e c números reais e distintos dois a dois.

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = a+b+c$

* Bom, aqui está a minha tentativa, até que cheguei a um ponto que não consegui mais fatorar:

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^3}{(b-c)(a-b)}+\frac{c^3}{(a-c)(b-c)}$

$\frac{a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Agora, resolvendo só o numerador para depois substituir, e cortar o que tiver que cortar com o denominador, para obter a identidade pedida:

* $a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3$

$\\a^3b+ac^3-a^3c+b^3c-ab^3-bc^3\\a(a^2b+c^3)-c(a^3-b^3)-b(ab^2+c^3)$

Como podem ver, não dá nem pra resolver por fatoração por grupamento ( a não ser que tivéssemos por exemplo a²b+c³ ou ab²+c³, um deles nos dois fatores, o que não temos, temos cada um em um fator)

Alguém pode ajudar ?

por rihan Qui 31 maio 2012, 02:18

Trabalhe com os dois lados da igualdade.

Depois da trabalheira, vai encontrar:

a³b - a³c - ab³ + b³c + ac³ - bc³ = a³b - a³c - ab³ + b³c + ac³ - bc³

0 = 0 ■

por Thvilaça Qui 31 maio 2012, 08:36

Só da pra fazer dessa forma mesmo? Na equação?

Não existe uma forma de fatorar só o primeiro membro, e provar que é igual ao 2° membro, por fatoração?

Se puder ajudar, ou alguém mais, eu agradeceria...

De qualquer forma, obrigado pela sugestão, rihan.

por rihan Qui 31 maio 2012, 15:50

Eu não fiz ou resolvi uma equação.

Usei ambos os lados da identidade.

Resolver uma equação é descobrir um conjunto de elementos que, quando substituem as variáveis, tornam a proposição (igualdade) verdadeira.

Uma identidade é verdadeira para qualquer conjunto do domínio dado (universo do discurso).

Logicamente uma identidade é:

p <--> q

Podemos partir da esquerda para direita ou inversamente ou, ainda, trabalhar algebricamente com ambos os "lados".

Às vezes, trabalhar somente de um "lado" é difícil nos dias que não estamos criativos ou intuitivos.

Por exemplo:

Para a≠b, demonstre a identidade:

(a² + b² - 2ab) / (a-b) ≡ (a-b)

Sabendo-se:

Propriedade Distributiva da multiplição em relação à soma: a(b+c) ≡ ab + ac

Propriedade Comutativa: a.b ≡ b.a, a+b ≡ b+a

Elementos Neutros: a+0 ≡ a, a.1 ≡ a

Inverso de a , a≠0 : 1/a

Divisão : a/b ≡ a. (1/b)

Simétrico de a , a≠0: a.(-1) = - a

Subtração: b - a ≡ b + (-a)

Condensações: a - a ≡ 0, a.(1/a) ≡ 1

1) p --> q

(a.a + b.b - a.b - a.b) / (a-b) ≡

(a.a - a.b + b.b - b.a) / (a-b) ≡

( a(a-b) + b( b-a) ) / (a-b) ≡

( a(a-b) - b( a-b) ) / (a-b) ≡

( (a-b)a - ( a-b)b ) / (a-b) ≡

( (a-b)(a-b) ) / (a-b) ≡

(a-b) (a-b) / (a-b) ≡

(a-b) . 1 ≡

a - b ■

2) p <-- q

a-b =

(a-b).1 ≡ !!! :face:

(a-b). (a-b) / (a-b) ≡ !!! affraid

(a² - a.b - b.a + b²) / (a-b) ≡

(a² - a.b - a.b + b²) / (a-b) ≡

(a² + b² - 2a.b) / (a-b) ■

3) p <--> q

(a² + b² - 2ab) / (a-b) ≡ (a-b)

a² + b² - 2ab ≡ (a-b) (a-b)

a² + b² - 2ab ≡ a² - a.b - b.a + b²

a² + b² - 2ab ≡ a² + b² - a.b - a.b

a² + b² - 2ab ≡ a² + b² - 2ab ■

É como bater penalidade máxima ...

Pra que lado eu devo bater ? Esquerda, direita, cavadinha no meio ... ?

Vai depender do jogo, do tempo, do goleiro e... da sua experiência e informações...

por Thvilaça Qui 31 maio 2012, 20:20

Entendi rihan, entendi o que vc quis dizer, mas não entenda mal, não quis ofendê-lo dizendo que sua resposta não foi válida. Surprised

O que eu quis dizer é se havia alguma forma de fatorar o primeiro membro. Perguntei isso baseado no item anterior, do mesmo exercício, no livro em que estava estudando, cuja identidade era a seguinte:

$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$ ≡ 1

Você verá, se tentar fatorar o primeiro membro ( é um pouco difícil, e vc deve usar fatoração por grupamento), que é possível, fatorando só o primeiro membro, chegar á identidade. Entretanto, nesta outra, não obtive sucesso, entende.

O senhor me sugeriu esta solução, eu a achei bastante interessante, mas confesso, fiquei intrigado se havia alguma forma de fatorar o primeiro membro e chegar à identidade, assim como no item apresentado anteriormente, entende?

Mas, obrigado mais uma vez rihan. Ótima observação! Smile

por rihan Qui 31 maio 2012, 20:40

Eu não me senti ofendido Very Happy

!

Coloquei só o que penso que todos confundem ou ainda não diferenciam:

igualdade - identidade - equação

Mania de professor... Smile

Obviamente que tem fatoração o 1º membro.

Só coloquei a solução mais rápida (creio eu...), já que o tempo em concursos é fator primordial.

Que tal tentar mais um pouquinho ?

Use a sua criatividade, a sua intuição e seus conhecimentos.

Caso não consiga, eu vou tentar.

Hoje não, não estou inspirado ... Wink

Vamos Lá !

por Thvilaça Qui 31 maio 2012, 21:04

Entendido, sem problemas...

Mas é isso aí como o senhor disse, vamos lá, eu vou tentar mais uma vez! Desistir nunca. Afinal, como diria meu amigo Albert: O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário ! hehe... Very Happy