Polígonos regulares

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Mensagem por Tatiane Reis Bonfim em Ter 15 Maio 2012, 10:04

As mediatrizes dos lados AB e CD de um polígono regular ABCDEF... formam um ângulo, que contém B e C, de 20° . Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?



Desde já agradeço!!! Very Happy

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Mensagem por ivomilton em Ter 15 Maio 2012, 14:31

@Tatiane Reis Bonfim escreveu:As mediatrizes dos lados AB e CD de um polígono regular ABCDEF... formam um ângulo, que contém B e C, de 20° . Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?

Desde já agradeço!!! Very Happy

Boa tarde, Tatiane.

Se ^Med(A,B) com Med(C,D) = 20° e sendo O o centro da circunferência onde o polígono regular está inscrito, então o ângulo BÔC = 20/2 = 10° corresponde ao ângulo central de cada um dos lados desse polígono.

Assim sendo, tal polígono regular deve ter:
360°/10° = 36 lados.

No site:
http://www.profcardy.com/cardicas/tirateima.php?id=24

lemos:

É PROPRIEDADE de todos os polígonos regulares de N lados:
I) Se o número de lados for PAR, exatamente N/2 diagonais passam pelo centro do polígono.II) Se o número de lados for ÍMPAR, nenhuma das suas diagonais passam pelo centro do polígono.

Logo, nesse polígono de número par de lados (36), o número de diagonais que passam pelo centro é:
D(que oassam pelo centro do polígono) = 36/2 = 18





Um abraço.
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Mensagem por Tatiane Reis Bonfim em Ter 15 Maio 2012, 23:03

Senhor Ivomilton muito obrigada pela sua ajuda!


Boa noite!! Very Happy

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Mensagem por vscarv em Sab 14 Fev 2015, 11:04

ivomilton,

como você chegou nessa conclusão:

"Se ^Med(A,B) com Med(C,D) = 20° e sendo O o centro da circunferência onde o polígono regular está inscrito, então o ângulo BÔC = 20/2 = 10° corresponde ao ângulo central de cada um dos lados desse polígono."?

Não entendi muito bem. Poderia explicar?
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Mensagem por ivomilton em Sab 14 Fev 2015, 11:41

@vscarv escreveu:ivomilton,

como você chegou nessa conclusão:

"Se ^Med(A,B) com Med(C,D) = 20° e sendo O o centro da circunferência onde o polígono regular está inscrito, então o ângulo BÔC = 20/2 = 10° corresponde ao ângulo central de cada um dos lados desse polígono."?

Não entendi muito bem. Poderia explicar?
Bom dia,

A mediatriz de AB é também bissetriz de AÔB.
Chamando de M o ponto médio de AB; de N o ponto médio de BC; e de P o ponto médio de CD, observamos que AÔM=MÔB deve medir AÔB/2, cuja medida chamarei de x.
Como os triângulos AOB, BOC e COD são congruentes (igual medida), então nos triângulos BOC e COD também devemos ter:
BÔN = NÔC = x
CÔP = PÔD = x

Temos, portanto, que a medida do ângulo entre OM e OP (por passam as referidas mediatrizes — que também se constituem em bissetrizes dos ângulos AÔB, BÔC e CÔD,
deverá ser:
MÔB + (BÔN + NÔC) + CÔP = x + (x + x) + x  = x + 2x + x = 4x

MÔP = 20° 
MÔP = 4x
20º = 4x
x = 20°/4
x = 5°

Então, fica:
BÔC = 2x
BÔC = 2*5°
BÔC = 10° 

Espero tenha ficado claro para você.



Um abraço.
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