Potências Complexas

Queridos amigos do fórum pir²,

Estou postando aqui uma dica para aqueles que desejam aprender um poquinho mais sobre os numeros complexos.

é muito conhecido, no ensino médio, os numeros complexos elevados a uma potência real.

Por exemplo :

Seja z = 2i , quanto vale z³ ?
Muito simples a resolução.. sabemos que z³=2³ .i³
Mas i³ = -i , Então segue que z³= -8i

Até mesmo numeros mais detalhados é facil calcular, quando temos, por exemplo,(1+√3.i)³ Sabemos tirar o módulo (|z|) do número, sabemos determinar seu argumento (θ) e sabemos que o numero complexo tem seu argumento multiplicado pelo expoente elevado. Podemos dizer então que qualquer complexo z pode ser escrito sob a forma z = |z|.cis(θ)
Então zⁿ=|z|ⁿ . cis(nθ)

Tudo isso é comumente visto no ensino médio. Entretanto, não é visto numeros compleos elevados a potências complexas!

Como calcular então, um numero complexo elevado a outro numero complexo ?



É mais simples do que parece galera,
Basta lembrar que das funções seno e cosseno hiperbolicas :





Somando as duas equações, temos que :



O que nos aponta que :



Podemos então , substituir o cis(θ) pela expressão acima. Portanto , todo numero complexo pode ser escrito sob a forma :



Sabendo disso , voltemos para a expressão do i elevado a i e olhemos para o resultado acima:

Temos que z = i .
É de facil percepcão que seu módulo vale 1 e seu argumento vale ∏/2
Portanto podemos escrever ele sob a forma :
z = 1.e^i(∏/2)

Mas temos que z está elevado a i , então :
e^(i∏/2)^i

Que nos dá :

e^(i²∏/2)

Finalmente :

i^i = e^(-∏/2) = 1/√[e^(∏)]

Quase criei um novo tópico para demonstrar essa relação  , por sorte ela já tinha. Deixarei a clássica para título de conhecimento:

Teorema de Taylor: Seja f uma função derivável num ponto x pertencente ao seu domínio, então f pode ser aproximada como um polinômio de grau infinito sob as vizinhanças de x.

Os coeficientes de Taylor dependem das derivadas de f no ponto x:



Se prosseguirmos assim indefinidamente, vemos que a função cosseno é idêntica ao polinômio:





Da mesma forma, prosseguindo indefinidamente para a função seno:



Função e^x:



Analogamente:



Com uma álgebra simples:



Temos novamente uma identidade de funções:



Fazendo x =  θ um argumento de um complexo qualquer e multiplicando ambos os membros da igualdade pelo módulo de um complexo qualquer, temos que todo número complexo admite a representação exponencial:



Algumas consequências:

1) As próprias funções seno e cosseno hiperbólicas utilizadas pelo colega Henrique.
2) As poderosíssimas Relações de Euler:



3) Outra bem simpática:



A forma exponencial de Euler é bem útil para provar relações nos complexos. Provando a 1º fórmula de De Moivre em 1 linha:


C.Q.D