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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Empty Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

Mensagem por May007 Dom 06 maio 2012, 12:49

Calcule o valor de K para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.

3x + y + z = 0
2x + (2-k)y + 2z = 0
x + y + (1-k)z = 0

-
Não tem gabarito a questão, e poderiam me explicar o que uma solução diferente da trivial? o que é trivial? Obrigada!

May007
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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Empty Re: Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

Mensagem por jclerk Dom 06 maio 2012, 13:55

Solução trivial é aquela onde todas as variáveis assumem o valor 0 (zero).
Ex: x - 2y = 0, esta equação admite a solução trivial, ou seja: x = y = 0;
Todo sistema homogêneo(com o vetor do lado direito igual ao vetor nulo) admite a solução trivial, também podendo admitir outras soluções diferentes da trivial.

Vamos à questão!

Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%203x%20&+y%20&+z%20&=%200%20\\%202x%20&+(2%20-%20k)y%20&+2z%20&=%200%20\\%20x%20&+y%20&+(1-k)z%20&=%200%20\end{matrix}\right

Fazendo a Eliminação de Gauss no sistema, obteremos:


Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%201x%20&1y%20&(1-k)z%20&=%200%20\\%20&-%20ky%20&%20&=%200%20\\%20&%20&(3k-2)z%20&=%200%20\end{matrix}\right

Para que o sistema admita uma solução diferente da trivial, temos que:
Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif .

Dessa forma, o sistema passa a ter soluções parametrizadas da forma:

Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif .
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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Empty Re: Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

Mensagem por danjr5 Dom 06 maio 2012, 14:09

Jclerk,

calculando o determinante do sistema dado, temos:

k = 0

k = 2
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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Empty Re: Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

Mensagem por Convidado Dom 06 maio 2012, 14:11

Solução trivial é quando se tem um sistema linear homogêneo (termos independentes de cada equação igual à zero) e o determinante do sistema é diferente de zero e portanto a solução do sistema será:
S={0,0,0,0,0,0...}
Portanto, pela definição que eu lhe dei, para a solução não ser trivial, o determinante do sistema dever ser igual a zero.

Obs.: Como não é uma solução trivial, existem infinitas soluções

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Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Empty Re: Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

Mensagem por May007 Dom 06 maio 2012, 14:49

Muito obrigada! Entendi perfeitamente! Very Happy

May007
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