Calcular o inverso das raízes

por **Bruna Barreto** Sáb 28 Abr 2012, 16:08

Dado a equaçao x³ -3x + 54=0,Calcular:(1/a² +1/b² + 1/c²)
Pessoal tentei fazer da seguinte forma:
(1/a² +1/b² + 1/c²)=(b²c² +a²c² + b²a²)/a².b².c²

Pelas relaçoes de Girard tentei tirar algo ...
a + b + c=0
ab + ac + bc= -3
a.b.c=54

Pensei nisso :(ab + ac + ba)²=b²c² +a²c² + b²a² + 2.(( a.b.c).(a + b + c))
Pelos valores que achei na relaçao de girad substitui os valores dando :b²c² +a²c² + b²a²=9
Está certo? se estiver o que eu faço agora?
Eu ja consegui fazer questoes desse tipo por um artifício chamado "Transformada Z", mas esqueci como é... Neutral

por **hygorvv** Sáb 28 Abr 2012, 16:25

Se a, b e c forem as raízes, eu diria que está correto. Só substituir agora.

por **Bruna Barreto** Sáb 28 Abr 2012, 16:35

esqueci de botar no enunciado que a b e c sao raízes, mas hygor e o valor de a².b².c²? eu nao consegui achar Sad

o que eu faço?

por **hygorvv** Sáb 28 Abr 2012, 17:20

a².b².c²=(a.b.c)²
Pelas relações de Girard que você fez, a.b.c=54
(a.b.c)²=(54)²

Espero que te ajude e seja isso.

por theblackmamba Sáb 28 Abr 2012, 18:06

Pode também utilizar o Teorema de Newton:
Seja $Calcular o inverso das raízes Mimetex.cgi?a,b,c,..$ raízes de um polinômio. Definimos a Soma de Newton da seguinte forma:
$Calcular o inverso das raízes Mimetex.cgi?S_k=a%5Ek+b%5Ek+c%5Ek+..$

Teorema de Newton:
Dado um polinômio: $Calcular o inverso das raízes Mimetex.cgi?P%28x%29=a_nx%5En+a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D+..$ é válido que:
$Calcular o inverso das raízes Mimetex.cgi?a_n.S_k+a_%7Bn-1%7D.S_%7Bk-1%7D+...+a_1S_%7Bk-n+1%7D+a_0$

No caso,
$Calcular o inverso das raízes Gif$

Queremos o valor de $Calcular o inverso das raízes Gif$

$Calcular o inverso das raízes Gif$

Aplicando:

$Calcular o inverso das raízes Gif$