Nº de raízes no polinômio do 3º grau.

Após a determinação dos valores numéricos: p(-1), p(0) e p(1), verifica-se que o polinômio p(x) = x³ + x² - x - 0,5 tem:


A ) apenas uma raíz real.
B ) apenas duas raízes reais.
C ) três raízes reais, todas de mesmo sinal.
D ) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
E ) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

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Poxa tentei várias vezes mas tá difícil... não estou conseguindo de jeito nenhum achar a resposta....

Tentei assim:

f(-1) = 0,5
f(0) = -0,5
f(1) = 0,5

Aí pelo Teorema de Bolzano, no intervalo ]-1,1[, o f(-1).f(1) > 0. Ou seja seriam zero raízes ou um nº par de raízes, não ? Por que a resposta dá um nº ímpar de raízes?

E ainda tem ainda aquele outro método só que esqueci o nome... mas é tipo se f(x₁) e f(x₂) têm sinais contrários, então fala que existe pelo menos 1 raíz entre x₁ e x₂ não é?

Aí tinha feito assim:

Entre f(x₁) = 0,5 e f(x₂) = -0,5, existe pelo menos 1 raíz. E entre f(x₂) = -0,5 e f(x₃) = 0,5, existe pelo menos 1 raíz também. Ou seja nesse intervalo o total seriam 2 raízes..

Pensei que fosse a b)... mas a resposta diz que são 3 raízes e ainda dá os sinais.. os sinais não tenho idéia como descobrir...


Muito obrigada

Olá Cam,

as raízes desse polinômio são:

x₁=-1.451605962957143
x₂=-0.40303171675714283
x₃=0.8546376797142857

há uma raiz fora do intervalo avaliado, por isso você só encontra duas. Questão ruimm....induz a gente a não procurar mais. Você usou os conceitos corretos.

Olá Euclides!

Nossa então era por isso... questão horrível mesmo né.... como que a gente vai imaginar que existe outra raíz fora do intervalo? Só por computador né isso ?

E os sinais pelo menos das raízes dentro desse intervalo, como que faz, dá pra descobrir também só analisando os f(x)?


Muito obrigada pela ajuda Euclides

Hola Cam™.

p(-1) = -1 + 1 + 1 - 0,5 = 0,5
p(0) = - 0,5
p(1) = 1 + 1 - 1 - 0,5 = 0,5

Como o coeficiente de x³ é positivo, então a curva é crescente. O fato do valor numérico mudar de sinal é que existe uma raiz entre -1 e 0. Com isso, antes de -1 também existe outra raiz, ou seja, negativa. Como para x = 1 o sinal muda, então existe uma raiz entre 0 e 1. Daí, temos duas raízes negativas e uma positiva.
(E) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

Olá Paulo Testoni!

Muito obrigada, entendi agora essa parte dos outros sinais!

Mas só não consegui entender muito bem ainda, a parte do sinal da 2ª raíz negativa.. nessa parte que vc disse:

Paulo Testoni escreveu:
Como o coeficiente de x³ é positivo, então a curva é crescente. O fato do valor numérico mudar de sinal é que existe uma raiz entre -1 e 0. Com isso, antes de -1 também existe outra raiz, ou seja, negativa.

Tipo.. não estou conseguindo imaginar direito essa situação...

Por exemplo, o que me leva a crer que quando a parte do gráfico de x³ que vem lá de baixo e sobe, ele já não cortaria o eixo x, 1 vez só já nesse intervalo ]-1,0[ ? Aí seguindo com o gráfico, depois ele cortaria o eixo x no intervalo ]0,1[ e continuando pra direita, poderia cortar num outro intervalo também positivo ]1,até alguém[. Aí nesse caso seriam 1 raíz negativa e 2 positivas. Mas sei que não é pq vcs já mostraram, só que não estou conseguindo ter essa visão...

Mas depois, fui tentando ver + ou - como que seria o comportamento dessa função, e o único jeito que deu pra perceber as 2 raízes negativas foi vendo cada gráfico separado... tipo assim, vê se pode fazer desse jeito:

1º, acho os sinais das raízes no intervalo ]-1,1[ pelo método, aí marco esses 2 pontos no eixo x.

Depois, eu vejo como fica o gráfico da parte x²-x-0,5. Ele vai ter o formato de um gráfico com 1 raíz positiva e outra negativa, e como x² é positivo ele vem lá de cima. Aí lá no 1º quadrante, eu traço a parábola como seria desse gráfico. Aí, ele corta o eixo x nesse ponto da raíz no intervalo ]0,1[, corta o Y num ponto lá negativo, e depois sobe e corta a parte negativa do eixo x, no ponto da outra raíz, no intervalo ]-1,0[.

Aí nessa hora o gráfico tá na parte negativa do eixo x e lá em cima na parte positiva do eixo Y. Mas aí como o x³ é positivo, ele tem que vir lá de baixo... aí eu sigo com o gráfico abaixando, até o eixo Y negativo.. e como saiu da parte positiva pra negativa do eixo Y, ele tem que cortar o eixo x. Aí essa seria a 2ª raíz negativa...

Tá certo esse pensamento? Tipo nesse caso deu... ou pode ter casos que não dá certo isso?


Muito obrigada pela ajuda!

Obs: Nossa.... ficou gigante a explicação.... mas tipo só escrevendo aqui que fica grande, mas na hora de analisar é até rapidinho..

Hola Cam.

Dê uma lida no Teorema de Bolzano abaixo:
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/013_caio_aula_inspecao_de_raizes_e_bolzano.pdf

Olá Paulo,

É agora vi que não pode, que pena... tava estranho mesmo, não poderia ser tão fácil.... foi pura sorte com essa questão só..

Mas já que não pode, continuo não sabendo diferenciar a letra D) da letra E)... por exemplo, vc disse que o fato do valor numérico mudar de sinal é que existe uma raiz entre -1 e 0. Até aí eu entendi.

Mas não entendo depois pq vc disse que com isso, antes de -1 também existe outra raiz, ou seja, negativa.

Você está dizendo isso só por causa do coeficiente do x³ que é positivo né ? Porque só pelo método da Bisseção não dá pra tirar essa conclusão.. certo?

Então caso o coeficiente do x³ fosse negativo, a outra raíz teria que ser obrigatoriamente positiva? Porque aí sim nesse caso invalidaria a letra D).. é isso?

Muito obrigada pela ajuda

Hola Cam™.

Vamos tentar ilustrar mais para que vc tenha uma melhor noção do que está acontecendo.

Sejam P(x) = 0 uma equação polinomial com coeficiente reais e ]a; b[ um intervalo real aberto.

1.º) Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais da equação em ]a, b[.

2.º) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em ]a, b[.

Demonstração:

Notemos que se r_i é interna ao intervalo ]a, b[, então a < r_i < b, isto é:
a – r_i > 0
b – r_i < 0, isso implica que: (a – r_i)*(b – r_i) < 0

Notemos também que se r_e é externa ao intervalo ]a, b[, por exemplo, se a < b < r_e, resulta:
a – r_e < 0
b – r_e < 0, isso implica que: (a – r_e)*(b – r_e) > 0

Calculemos agora o produto P(a)*P(b):

P(a)*P(b) = [a_n*Q(a)*(a – r_1)*(a – r_2)....(a – r_p ][a_n*Q(b)(b – r_1)*(b – r_2)....(b – r_p) = a²_n*[Q(a)*Q(b)]*[(a – r_1)*(b – r_1)]*[(a – r_2)*(b – r_2)]....[(a – r_p)*(b – r_p) (3)

Verificamos que P(a)*P(b) é um produto de p + 2 fatores numéricos, a saber:
um fator é a²_n > 0
um fator é Q(a)*Q(b) > 0 pois Q(x) > 0, para todo x E IR
p fatores do tipo do tipo (a – r_m)*(b – r_m) onde r_m é a raiz real da equação.

Assim, os únicos fatores negativos do segundo membro da relação (3) são os fatores correspondentes às raízes de P(x) = 0 internas ao intervalo ]a, b[, o que permite concluir a existência de duas possibilidades.

1.ª) quando P(a) e P(b) têm mesmo sinal, isto é, P(a)*P(b) > 0, existe um número par de fatores negativos do tipo (a – r_i*(b – r_i) e, portanto, existe u número par de raízes reais da equação P)x) = 0 que são internas ao intervalo ]a; b[.
ou
2.ª) quando P(a) e P(b) têm sinais contrários, isto é, P(a)*P(b) < 0, existe um número ímpar de fatores negativos do tipo (a – r_i*(b – r_i) e, portanto, existe u número ímpar de raízes reais da equação P)x) = 0 que são internas ao intervalo ]a; b[.

Interpretação geométrica

Se y = P(x) é uma função polinomial de coeficientes reais e variável x real, podendo a cada par (x, y) da função associar um ponto do plano cartesiano e, assim, obter o seu gráfico. Nestas condições, pesquisar as raízes reais de uma equação polinomial P(x) = 0 é localizar (onde? Quantos?) os pontos em que o gráfico cartesiano da função y = P(x) intercepta o eixo das abcissas (y = 0).

Assim, o Teorema de Bolzano comporta uma interpretação geométrica baseada, em resumo, no seguinte:
sinal de P(a) = sinal de P(b) implica num número par de raízes
sinal de P(a) ≠ sinal de P(b) implica num número ímpar de raízes





Espero ter ajudado o amigo.

Olá Paulo!

Muito obrigada mesmo pela explicação muito bem detalhada do Teorema, incluindo a parte gráfica!! Entendi agora essa parte sinal, analisando com mais calma depois da sua explicação.

Muito obrigada me ajudou bastante!!

Parabéns Paulo, pela bonita aula!!!

abraço,