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triângulo-medida da reta paralela a BC

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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty triângulo-medida da reta paralela a BC

Mensagem por rodrigomr Qua 28 Mar 2012, 14:38

Em um triângulo ABC têm-se AB=10cm, AC=12cm. O incentro(i) e o baricentro (g) estão em uma mesma paralela a BC. A medida do lado BC é igual a:

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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty Re: triângulo-medida da reta paralela a BC

Mensagem por rodrigomr Qui 29 Mar 2012, 08:18

alguém sabe?
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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty Re: triângulo-medida da reta paralela a BC

Mensagem por matheuss_feitosa Qui 29 Mar 2012, 19:10

Se o ponto I é o incentro do ∆ABC, também é o centro da circunferência inscrita a ele.

Sejam r o raio, DE a reta paralela à BC, H o ponto médio de BC, G o baricentro, BF a bissetriz do ângulo A^BC, AI a bissetriz do ângulo EÂD, x a medida do lado BC e α o ângulo A^CB,

Podemos escrever a área A do triângulo em função de p e r:



Logo,



Ainda,





Sendo AH a mediana relativa a BC, temos que AG vale 2/3 de AH, ou seja, os ∆AED e ∆ABC são semelhantes a uma razão de 2/3, AE=2AB/3=20/3, AD=2AC/3=8 e DE=2BC/3=2x/3.
Agora, pelo teorema da bissetriz interna,







No triângulo IDF, por relação de paralelismo, os ângulos IDF e α são iguais. Se IF é raio da circunferência inscrita, vale r e toca perpendicularmente o lado AC, que tange a circunferência, portanto,



Igualando sinα e substituindo r, chegamos à resposta.







Abraços. cheers

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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty Re: triângulo-medida da reta paralela a BC

Mensagem por rodrigomr Seg 02 Abr 2012, 08:36

Por que os triângulos são semelhantes a uma razão de 2/3?
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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty Re: triângulo-medida da reta paralela a BC

Mensagem por matheuss_feitosa Seg 02 Abr 2012, 12:32

Propriedade do baricentro (ponto onde concorrem as medianas de um triângulo):
"Sendo AH a mediana relativa a BC, temos que AG vale 2/3 de AH, ..."
E GH vale 1/3 de AH.

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triângulo-medida da reta paralela a BC Empty Re: triângulo-medida da reta paralela a BC

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