IME - Círculo

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Mensagem por luiseduardo em Ter Mar 27 2012, 11:26

Em um círculo de 10V2 de diâmetro temos duas cordas medindo 2 e 10. Achar a corda do arco soma dos arcos das cordas anteriores.

gab:

Spoiler:
8V2
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Elcioschin em Ter Mar 27 2012, 12:12

Sejam AB = 2 e BC = 10 as cordas do círculo de centro O e raio: R = 5*\/2 ----> R² = 50

Teorema dos cossenos nos triângulos OAB e OBC e OAC

AB² = OA² + OB² - 2*OA*OB*cosAÔB -----> 2² = R² + R² - 2*R²*cosAÔB ----> 4 = 100 - 100*cosAÔB ---->

cosAÔB = 24/25 ----> senAÔB = 7/25


BC² = OB² + OC² - 2*OB*OC*cosBÔC -----> 10² = R² + R² - 2*R²*cosBÔC
----> 100 = 100 - 100*cosBÔC ---->

cosBÔC = 0 -----> BÔC = 90º


AÔC = AÔB + BÔC ----> AÔC = AÔB + 90º ----> cosAÔC = cos(AÔB + 90º) ----> cosAÔC = - senAÔB

AC² = OA² + OC² - 2*OA*OC*cosAÔC ---> AC² = 100 + 100*senAÔC ---> AC² = 100 + 100*7/25 ---->

AC² = 128 ----> AC = 8*\/2


Última edição por Elcioschin em Qui Maio 29 2014, 20:04, editado 1 vez(es)
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Ashitaka em Qui Maio 29 2014, 18:57

Elcioschin, desculpe se a pergunta for boba, mas você considerou que as cordas tinham uma extremidade B em comum para facilitar a visualização e os cálculos, isso?
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Elcioschin em Qui Maio 29 2014, 20:02

Sua pergunta não é boba não. Eu fiz exatamente isto. Só que cometi um pequeno erro na 5ª e 6ª linha da minha solução:

BC² = OB² + OC² - 2*OB*OC*cosCÔD ---> 10² = R² + R² - 2*R²*cosCÔD

O correto é:

BC² = OB² + OC² - 2*OB*OC*cosBÔC ---> 10² = R² + R² - 2*R²*cosBÔC --->



cosBÔC = 0 -----> BÔC = 90º

O resto está correto. Vou fazer a correção no original (em azul)
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Ashitaka em Sab Jun 07 2014, 15:35

Obrigado Smile
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Re: IME - Círculo

Mensagem por raimundo pereira em Sab Jun 07 2014, 16:11

Outro modo: Geometria Euclidiana:

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Re: IME - Círculo

Mensagem por Ashitaka em Dom Jun 08 2014, 21:18

Parabéns pela bela resolução alternativa, Raimundo. Só não entendi como você deduziu que ACD é isósceles.
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Medeiros em Dom Jun 08 2014, 21:32

Hgp2102 escreveu:Parabéns pela bela resolução alternativa, Raimundo. Só não entendi como você deduziu que ACD é isósceles.
foi erro de digitação. Ele referia-se ao triângulo ABC e isso fica evidente na sequência da frase AC=BC=10.

A propósito, BELA resolução Raimundo.
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Re: IME - Círculo

Mensagem por raimundo pereira em Dom Jun 08 2014, 21:47

Obrigado aos dois.
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Ashitaka em Dom Jun 08 2014, 22:05

Eu vejo que os senhores Raimundo e Medeiros resolver grande gama de questões sobre geometria nesta parte do fórum; mas para mim esta não é para mim uma parte tão "intuitiva" da matemática, então nem sempre fica evidente com o senhor Medeiros disse; sempre fico "com uma pulga atrás da orelha" achando que não estou enxergando algo óbvio.
Enfim, agradeço pela paciência e explicações nesse post que nem era meu. Smile
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Re: IME - Círculo

Mensagem por Pré-Iteano em Sab Jul 09 2016, 18:38

Uma terceira resolução alternativa:


Aproveitando a figura do mestre Raimundo, seja x o valor da corda em questão, que completa o triângulo BCD (x = CD).

Temos a área do triângulo em função do raio do seu circulo circunscrito:

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Além disso, também temos a área do triângulo, por Herón:

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Igualando as expressões (I) e (II) encontraremos a seguinte equação biquadrada:

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Cujas raízes positivas são 8√2 e 12.

Descartamos a raíz 12 através da desigualdade triangular, pois:

x < 10 + 2

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