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Mensagem por Heisenberg93 em Qui 22 Mar 2012, 12:13

Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir:

1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
...

Considerando que felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:

Prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar.

Heisenberg93
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Mensagem por Luck em Qui 22 Mar 2012, 16:47

1º linha -- 1 termo a1 = 1 S = 1 --> 1²
2º linha 3 termos a2 = 2 S = 9--> 3²
3º linha 5 termos a3 = 3 S=25--> 5²
...
nº linha x termos a1 = n S = ?

calculando o nº de termos da nº linha:
x = a1 + (k-1).r
x = 1 + (n-1).2
x = 2n - 1 termos

agora podemos calcular o an da nº linha:
an = a1' + (k'-1).r'
an = n + (2n-1 - 1).1
an = 3n-2

Sn = (a1+an).n/2
Sn = (n + 3n-2).(2n-2)/2
Sn = (4n-2)(2n-1)/2
Sn = 2(2n-1)(2n-1)/2
Sn = (2n-1)² <-- 2n -1 sempre é ímpar


Última edição por Luck em Qui 22 Mar 2012, 17:03, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Luck em Qui 22 Mar 2012, 17:02

Complementando:
De fato, por indução:
para n = 1
S1 = 1

para n = k
Sn
Sk =(2k-1)² hipótese I

k--> k+1
S(k+1) = (2(k+1) - 1)²
S(k+1) = (2k+1)² tese II

Observe na sequencia que a cada nova linha é somado os 3 últimos números da anterior tirando o 1º termo da anterior. Entao:
somando (3k-1) + (3k) + (3k+1) - k em I
Sk + (3k-1) + (3k) + (3k+1) - k = (2k-1)² + (3k-1) + (3k) + (3k+1) - k
--> 4k² - 4k + 1 + 8k
--> 4k² +4k + 1
--> (2k+1)² c.q.d
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