Questão UFT 2011

Uma pedra, partindo do repouso, cai verticalmente do alto de um prédio cuja altura é "h". Se ela gasta um segundo (1s) para percorrer a ultima metade do percurso, qual é o valor em metros(m) que melhor representa a altura "h" do prédio?
Desconsidere o atrito com o ar, e considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s^2
a) 80,6m
b)100,2m
c)73,1m
d)57,1m
e) 32,0m

Obrigado!!

Vamos considerar a altura do prédio como sendo:

Como foi abandonado temos H0=0 e v0=0, assim:

H= H0+v0.t+gt²/2 ----> H=gt²/2 --> I

A última metade do prédio que a pedra percorre em 1s é dada por:

H/2= H0+v0.t+gt²/2, como foi percorrida no último segundo t= (t-1)², logo

H/2= H0+v0.t+g(t-1)²/2 ----> H/2=g(t-1)²/2 ---> anulando os denominadores temos:

H=g(t-1)² ---> II

Igualando I e II temos:

gt²/2=g(t-1)² ---> gt²=2g(t-1)² ---> t²=2g(t-1)²/g --> t²=2(t-1)²

t²=2(t-1)² ---> t²=2(t²-2t+1) ---> t²= 2t²-4t+2 ---> t²-4t+2=0

∆=16-4.1.2 ---> ∆= 8

t=4±√8/2 ------> t= 4±2√2/2

t'= 4+2√2/2 --> t'= 2+√2

t"=4-2√2/2 --> t''= 2-√2 --> Não serve, pois da menos de 1s !

Substituindo t' em I temos:

H=9,8(2+√2)²/2 ---> H= 9,8.(4+4√2+2)/2 --> H=4,9.(6+4√2)

Considerei √2 como 1,4142

H=4,9.(6+4.1,41) ---> H=4,9.(6+5,6568) ---> H= 29,4+27,7183

H= 57,11m --> H=57,1m <--- Letra D

Espero que estja correto.

alissonsep escreveu:A última metade do prédio que a pedra percorre em 1s é dada por:

H/2= H0+v0.t+gt²/2, como foi percorrida no último segundo t= (t-1)², logo

H/2= H0+v0.t+g(t-1)²/2 ---->  H/2=g(t-1)²/2 

Se a pedra está na metade da altura, então a velocidade inicial dela não é zero. Por que não considerou a velocidade inicial nessa fórmula??

A solução dele está correta.
Vou mostrar outra solução, usando a velocidade na metade do caminho (Vo)

t = tempo total de queda
t - 1 = tempo na 1ª metade

h = (1/2).g.t² ---> t = √(2.h/g) ---> I

1ª metade ---> Vo = g.(t - 1) ---> Vo = g.[√(2.h/g) - 1] --> Vo =√(2.g.h) - g ---> II

1ª metade ---> h/2 = Vo.1 + (1/2).g.1² ---> h = 2.Vo + g ---> III

II em III --> h = 2.[√(2.g.h) - g] + g --> h = 2.√(2.g.h) - g ---> h + g = 2.√(2.g.h)

(h + g)² = 4.(2.g.h) ---> h² + 2.g.h + g² = 8.g.h ---> h² - 6.g.h + g² = 0

∆ = (-6.g)² - 4.1.g² ---> ∆ = 32.g² ---> √∆ = 4.√2.g 

h = (6.g + 4.√2.g)/2 ---> h = (3 + 2.√2).g ---> h = (3 +  2.√2).9,8 --->

h ~= 57,1 m

Entendi!! Muuuuito obrigada! =)

Liliana Rodrigues escreveu:

alissonsep escreveu:A última metade do prédio que a pedra percorre em 1s é dada por:

H/2= H0+v0.t+gt²/2, como foi percorrida no último segundo t= (t-1)², logo

H/2= H0+v0.t+g(t-1)²/2 ---->  H/2=g(t-1)²/2 

Se a pedra está na metade da altura, então a velocidade inicial dela não é zero. Por que não considerou a velocidade inicial nessa fórmula??

Ele considerou a primeira metade do percurso e o percurso total, sendo assim, as velocidades iniciais são e iguais a 0.
Por isso que ele usa também o tempo do primeiro percurso como "t-1" -> tempo total(t) - tempo do segundo percurso(1s).