Chile (2003) - Números primos

Encontre todos os primos p,q tais que:

Olá blackmamba,
Primeiramente podemos avaliar o problemas em dois casos:
1º) p e q são maiores que 2.
2º) p ou q são iguais a 2.
1º) se p e q são primos maiores do que 2 sua diferença é sempre um número par, portanto
p-q = 2k => p+q = 8k³ Somando as duas equações:
2p = 2(4k³+k) = 2k(4k²+1)
p=k(4k² +1), observe que essa expressão só representa um número primo quando um dos fatores vale 1.
4k²+1=1 => não serve
k=1 => p=5 e q =3
Logo só este par satisfaz a igualdade no primeiro caso.
2º Caso:
Faça q=2
p+2 = (p-2)³
p+2 = p³-6p²+12p-8
p³-6p²+11p-10 = 0
Como queremos saber se algum primo satisfaz essa equação pelo teorema das raízes racionais, devemos testar apenas os divisores primos de 10(2 e 5) fazendo os teste vemos que nesse caso não há nenhuma solução.

Logo as únicas soluções são p=5 e q=3.