Equação Segundo Grau

Sejam a, b e c números reais tais que as equações x²+ax+1=0 e x²+bx+c=0 e possuem exatamente uma raiz real comum e as equações x²+x+a=0 e x²+cx+b=0 também possuem exatamente uma raiz comum. Determine a soma a+b+c.

x²+ax+1=0
x²+bx + c = 0

Adotando como "y" a referida raiz que eles tem em comum , vamos lá mecher nela

y²+ay+1=0
y²+by+c=0

=ay+1=by+c
(I ) = y(a-b)=c-1


agora adotando como "z" a raiz das outras duas equação que possuem essa tal raiz em comum

z²+z+a=0
z²+zc+b=0

ajeitando ...

(II)= -z(1-c)=a-b

Substituindo (II) em (I)

y(-z(1-c)=c-1
-y(-z(1-c)=1-c
(y=1/z)

y²+ay+1=0
1/z² + a / z + 1 = 0
ajeitando
z²+az+1=0 ( I )

(II) z²+z+a=0

substituindo (II) em (I)

z+a=az+1
z-az=1-a
z(1-a)=1-a
z=1

a=-2

só que como z = 1
y=1/z = 1

1+b+c=0
b+c=-1

a+ b + c = -1 + -2 = -3

vou dá uma olhada , acho que errei muita coisa hashuasha

Eu concordo com a sua resolução, methoB!

Eu fiz assim:

x²+ax+1=0 e x²+bx+c=0 tem raízes em comum. Aplicando teorema das raízes racionais no termo independente da primeira equação, teremos:

a = 2 (x=-1) ou a = -2 (x=1)

Para as x²+x+a=0 e x²+cx+b=0 que também possuem uma raíz comum e considerando a = 2, fica:

x²+x+2=0 e x²+cx+b=0.

Na primeira equação não teremos uma raiz real, o que faria de c e b números imaginários. Então, a = 2 está descartado.

Já sabemos que a = -2, então, "1" é raiz das duas primeiras equações:

x²+ax+1=0 e x²+bx+c=0
1 + a + 1 = 0 e 1 + b + c = 0
a = -2 e b = -c - 1

Podemos tirar que b = -c-1.

Nas outras equações, fica:

x²+x+a=0 e x²+cx+b=0
x²+x-2=0 e x²+cx+b=0

Calculando as raízes da primeira, temos que x = 1 ou x = -2. Para x = 1, na segunda equação (tem raízes em comum!):

x²+cx+b=0
1² + c + b = 0
b = -c - 1

E para x = -2,

4-2c+b = 0
b = 2c-4

Perceba que só x=1 atende a condição de b, logo a raiz comum aos dois é "1".

E se b = -c - 1, b + c = -1. Se a = -2, temos:

a+b+c = -2-1 = -3