Quadrilátero convexo

Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que AD = DC, AC = AB e os ângulos ADC = CAB. Se M e N são os pontos médios dos lados AD e AB, prove que o triângulo MNC é isosceles.

acho que é isso , espero que isso te ajude

Obrigado Christian! Muito boa a sua solução. Eu estava com um poco de dificuldade em montar o desenho para resolver o exercício, cheguei a provar coisas absurdas como dizer que o quadrilátero é um retângulo. O máximo que cheguei é provar a igualdade entre esses ângulos, assim provando que se trata de um trapézio. Observando sua solução, pude perceber uma outra saída:
Os triângulos MDC e ANC são semelhantes: tem o angulo alfa e os lados que formam esse ângulo são proporcionais. 2 caso de semelhança.
Assim os ângulos DCM e NCA são congruentes, o que implica que os os ângulos MCA e NCB também são congruentes. Logo os triângulos MAC e NCB são semelhantes e:

MC/NC = (x/2)/(k/2) = k/BC, então BC = x.

AD//BC e BC = AD. Logo o quadrilátero é um paralelogramo e x = k.

Pela semelhança anterior, MC/NC = x/k = 1

MC = NC, então o triângulo MCN é isosceles.

Valeu!

boa observaçao gabriel

Creio que tenhamos nos equivocado em dizer que BC = x. Agora enxerguei uma outra solução, mas ao invés de provar que MC é igual a NC, essa solução consiste em provar que MN = MC.

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/192/quadrilteroconvexo1.png/

Os triângulos CDM e CAN são semelhantes, pois têm o angulo alfa em comum e os lados que formam esse angulo são proporcionais. Assim, DCM = ACN.

Os triângulo ACD e ABC são isósceles, por isso, os ângulos DAC = DCA = ABC = ACB = (180-a)/2 = 90 - a/2

Concluímos assim que NCB = (90 - a/2) - ACN; e ACM = (90 - a/2) - DCM. Assim, NCB = ACM

Verificamos que MCN = BCD/2 = 90 - a/2

MAN + MCN = a + (90 - a/2) + (90 - a/2) = 180. Logo, o quadrilátero ANCM é inscritível. Como os ângulos CAN e CMN enxergam o mesmo arco, então CMN = a. Olhando para o triângulo MNC:

MNC = 180 - a - (90 - a/2) = 90 - a/2. Logo, MNC = MCN e os lados MN = MC.

Provamos que o triângulo MNC é isosceles.