Tabuleiro 3 x 3 (OBM-3fase)

Num tabuleiro 3×3 escrevemos os números de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, achamos a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal e contamos o número de somas que são múltiplos de três. É possível que nenhuma das 8 somas seja um múltiplo de 3? justifique sua resposta.

A soma das três linhas (ou colunas) é igual a 45. A única possibilidade é que todas as colunas ou linhas tenham mesmo resto por 3. Assim, podemos ter todas as colunas com resto 2 ou 1 por 3. De 1 a 9 temos os grupos:
{3, 6, 9} > resto 0
{1, 4, 7} > resto 1
{2, 5, 8} > resto 2
Não podemos colocar todos os integrantes de um mesmo grupo em uma coluna, se não a soma vai ser múltipla de 3. Por outro lado, não podemos colocar apenas números de grupos distintos na mesma coluna pelo mesmo motivo anterior. Assim, cada coluna vai ter dois integrantes de um grupo e um de outro. O mesmo vale para as linhas e diagonais. Assim, podemos atribuir a cada grupo um símbolo, por exemplo, x, y , z, Qual é qual não importa; O que importa é tentar preencher o tabuleiro 3x3 de mareira a ter 2 símbolos em comum numa mesma linha, coluna, diagonal, sendo que cada símbolo pode ser usado 3 vezes. Suponhamos que, sem perda de generalidade, o quadrado do meio esteja preenchido com x. Vamos dividir em dois casos:

I) Nenhum dos quadrados do canto é preenchido com x:

Logo, a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito tem que ter dois símbolos iguais que sejam diferentes de x, digamos y. A outra diagonal preenchemos com 2 símbolos z. Agora chegamos a um empasse. Qualquer lugar onde colocarmos x ou teremos 3 grupos distintos numa mesma coluna/linha ou 3 iguais na mesma coluna/linha. Uma ilustração da situação:
https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/52/28596812.png/

II) Pelo menos um quadrado do canto é preenchido com x:

Para isso, temos 3 configurações possíveis para x a não ser por rotações e simetria:

1 config; Um L:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/213/19017457.png/

2 config; Uma espécie de C:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/842/24931683.png/

3 config, Não sei com que isso parece:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/443/41894716.png/

Não é difícil perceber que com nenhuma das configurações é possível preencher de acordo com o que é pedido no problema. =P
Acho que é isso :pirat:

Apesar de eu não ter sido o autor da pergunta, eu agradeço

Muito obrigado!