Funções trigonométricas

Se e , calcule as funções circulares de .

Sem gabarito.


Sei que todas as funções trigonométricas de um ângulo x (pelos menos as que eu estudei pelos livros de ensino médio) podem ser determinadas a partir do ou . Então essa questão quer saber , , , e ?

Vamos ler ?

sen(x) = 24/25

Domínio: (Π/2; Π)

Funções circulares de x/2 : sen(x/2),cos(x/2),tg(x/2),ctg(x/2),sec(x/2) e csc(x/2)

Lembre-se de que : "Pimba(p)" lê-se "Pimba DE p"

É melhor calcular a partir do COSSENO (qual o porquê ?)

cos(x) = ±√( 1 - (24/25)² )

cos(x) = –√( 1 - (576/625) ) <== Domínio: (Π/2; Π) = Q2 (2º Quadrante)

cos(x) = - √( 49/625)

cos(x) = -7/25

cos(x/2) = ?

cos(x) = cos²(x/2) - sen²(x/2) = cos²(x/2) - ( 1- cos²(x/2) ) = 2cos²(x/2) - 1

==>

cos(x/2) = ±√( (1+cos(x) )/2 )

Se x está em Q2, x/2 está em Q1 ... ==> cos +

cos(x/2) = +√( (1-7/25 )/2 )

cos(x/2) = √( (18/25 )/2 )

cos(x/2) = √( 9/25 )

cos(x/2) = 3/5

sen(x/2) = 4/5 ( ??? )

tg(x/2) = (4/5)/(3/5) = 4/3

ctg(x/2) = 1/tg(x) = 3/4

sec(x/2) = 1/cos(x) = 5/3

csc(x/2) = 1/sen(x) = 5/4

E vamos lá pilogamicamente !

Agradecimentos pilogâmicos mestre Rihan. :tav:

E vamos lá !

Mas você não respondeu às interrogações...

1) "É melhor calcular a partir do COSSENO (qual o porquê ?)"

2)cos(x/2) = 3/5
sen(x/2) = 4/5 ( ??? )

Estamos aguardando pilogamicamente !

Saudações inquisidoras !

Acredito que seja por causa das fórmulas do arco metade. Para calcular sen (x/2) e cos (x/2) é necessário saber o cos x, depois disso pode-se calcular todas as outras funções circulares de x/2.

Aguardando comentários!

Sim sim !

Faltou só o mais fácil:

2)cos(x/2) = 3/5
sen(x/2) = 4/5 ( ??? )

Mas, creio ser uma boa você dar uma solução pilogêmica e prostaferética .

Você vai compreender legal como tudo começou, se estudar o tema...

Vai ganhar também um acelerador para questões trigonométricas intrincadas.

E a total ligação espiritual e material entre as funções trigonométricas ( ou circulares...) e as exponenciais e logarítmicas.

Além de descobrir o que o palavrão "prostaférese" significa .

Saudações gregas (ôpa!) :bounce:

Obrigado mestre Rihan. Procurei sim o significado de ''prostaférese'' mas não ficou muito claro. O senhor tem algum arquivo ou conhece algum site que fale sobre o assunto?

Amigo Abelardo,

O Senhor continua lá em cima e nós aqui em baixo !

E daqui de baixo mesmo, vamos lá !!!

Tudo na vida pode ser resumido em uma "conta de chegar"...

Soma-se um pouquinho, subtrai-se um pouquinho e vamos chegando lá !

Adicionar e subtrair são no fundo as únicas ações no e do Universo.

O eterno movimento oscilatório de ir e vir, de por e tirar...

Tudo se resume nisso.

O resto é fruto da nossa fértil imaginação e a tentativa angustiante de compreender o motivo de tudo isso, a razão das coisas, o sentido de tudo.

"Prosto" ou "proto" tem o significado de adição e "aférese" de subtração, diferença, retirada.

Vem do grego: prosthesis e apharesis .

Quando os cálculos dos humanos começaram a se complicar, devido a nossa insaciável fome de saber, a solução de problemas virou um problemão !

Calcular distâncias terrestres ou cósmicas enormes e outras coisas do gênero fazia com que os sábios perdessem um enorme tempo fazendo contas...

Como NINGUÉM gosta de fazer contas (exceto os autistas e assemelhados...), começaram a pensar num jeito pra se dar jeito nisso.

Alguns heróis solitários já tinham perdido um enorme tempo de suas vidas calculando as tábuas trigonométricas, e com grande precisão.

Bom. Menos um trabalho. E viva os heróis !

Aí, busca, rebusca, futuca... notaram que havia a tranformação de produto em soma, nas funções trigonométricas !

Pronto :idea: ! Nunca mais multiplicar ou dividir !!!

Só somar e subtrair !

E tempo para se fazer coisas bem mais agradáveis e prazeirosas do que ficar calculando indefinidamente !

Arquimedes já fazia isso. Bem antes de Cristo !

Fazia com potências de 2 e de 10, a primeira noção de logaritmo. Em vez de multiplicar ou dividir números, somava ou subtraia expoentes...

Através de somas e subtrações em série, ia calculando tudo.

Fora os incêndios fortuitos, a Biblioteca de Alexandria foi queimada propositalmente por vários tiranos, que, "espertos" que eram, sabiam, desde as mais remotas eras, que o conhecimento era, é e sempre será o maior poder do Universo.

Sempre que você reparar poderosos cerceando a informação, o conhecimento, desconfie...

As invenções e descobertas de Arquimedes & Cia levaram um tempo "desaparecidas".

Os monastérios tinham algumas "cópias", mas faziam questão de esconder também... (Veja ou leia "O Nome da Rosa", de Uberto Eco)

Quanto mais o povo é ignorante, mais fácil de ser conduzido...

A prostaférese virou moda !

Todo mundo passou a usar os algoritmos, máquinas, geringonças e apetrechos que foram sendo inventados.

Então os logaritmos foram redescobertos !!!

E a "régua de calcular" virou o "Ipad" de então.

E a prostaférese foi pro limbo e paulatinamente esquecida.

A Régua de Cálculo durou mais tempo, uns 300 anos, mas teve seu funeral decretado com o advento das HPs científicas dos idos de 1970 ( O Steve, não o Jobs, mas o Wozniac, é um dos responsáveis por isso também...) e, como coveiro para seu enterro definitivo, os computadores pessoais dos anos 80.

Mas foi o genial, laborioso e paciente polímata suíço Euler que ligou as coisas todas !

Juntou as circulares, exponenciais e logarítmicas, reuniu a reta ao círculo, os retilíneos aos curvos ; juntou a unidade, o tudo e o nada, o racional ao irracional, ao transcendental, o real e ao imaginário, na mais bela e espetacular e enxuta relação e criação da mente humana:



Entrelaçando, unindo, de uma vez por todas, as funções circulares, exponenciais e logarítimicas !

Aí vai uns links rapidinhos:

Prostaférese (em inglês)

Prostaférese (em espanhol)

Leonhard Euler (em inglês)

Identidade de Euler (em inglês)

Neles, tem links para outras fontes, caso você queira ir mais fundo...

E lembre-se de que:
Nos dias atuais, quem não lê em Inglês, a língua do Império atual, é analfabeto... :face:


Saudações pilogâmicas e prostaferéticas !!!

E VAMOS LÁ !


PS: E a pergunta que não quer calar:

Se sen(x) = 3/5 , por qual motivo que, imediatamente, se tem: cos(x) = 4/5 ??? :bounce:

Muito obrigado mestre Rihan pela excelente explicação, está de parabéns.

A resposta solicitada é por causa da relação fundamental ?