Probabilidade

Sendo A um ponto fixo de um círculo de raio r e escolhendo-se ao acaso um ponto
B sobre o círculo, a probabilidade da corda AB ter comprimento maior que r está entre:

Alternativas:

Spoiler:

Gabarito:

Spoiler:

1) Fórum errado: Probabilidade é matéria do Ensino Médio

1) Enunciado errado:

Sendo A um ponto fixo de uma círcunferência de raio r e escolhendo-se ao acaso
um ponto B sobre a circunferência, a probabilidade da corda AB ter
comprimento maior que r está entre:

Solução: Para a corda ter comprimrnto r ela é o lado de um hexágono inscrito.

P = 4/6 ---->Alternativa E

Desculpe-me, estou no Ensino Fundamental, por isso fui direto na área em que se encontra. Na próxima vez, terei mais atenção.

É uma questão da UFRGS, um grande erro deles se for realmente uma circunferência.
Eu estava, sinceramente, pensando que era um círculo, por isso não tinha a mínima ideia de onde começar.
(Mas mesmo sendo uma circunferência, eu não tinha o conhecimento de que o lado de um hexágono inscrito é igual ao raio de uma circunferência)

Muito Obrigado!

Werill

O enunciado fala em corda AB; uma corda une dois pontos de uma circunferência (que é uma linha)

Um círculo é uma figura plana (não é uma linha). Assim, o enunciado está errado mesmo!!!

Veja a figura:

Então, estou errado em pensar que um círculo (como qualquer outra figura plana) tem um contorno?
Assim, também posso dizer que é possível haver uma corda em um círculo.

___________________
OBS: Só perguntei para tirar minha dúvida, pois, é claro que se fosse um circulo, mudaria toda a resolução do problema.

Werril

Veja as definições:

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é uma constante positiva denominada raio da circunferência.

Assim, a circunferência é a linha desenhada por um compasso.
Exemplo: um anel de noivado ou um bambolê (desprezando a espessura de ambos)


Círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual a uma constante positiva
denominada raio.

Assim, a borda de um círculo é a circunferência do mesmo. Exemplo: uma pizza (desprezando a espessura da mesma)

Note que o círculo tem ÁREA e a circunferência tem COMPRIMENTO.

Conclusão: Não se pode falar em corda do círculo. Pode-se falar corda de uma circunferência ou corda da circunferência de um círculo

Honorável Mestre Elcio,

Permita-me discordar. E veementemente !

Considero muito importante, pois levantará outras questões, as quais não podemos deixar passar.

DEFINIÇÕES NO WOLFRAM-MATHWORLD:

CIRCLE

"A circle is the set of points in a plane that are equidistant from a given point O. The distance r from the center is called the radius, and the point O is called the center. Twice the radius is known as the diameter d=2r. The angle a circle subtends from its center is a full angle, equal to 360° or 2π radians."

CIRCUMFERENCE

"The perimeter of a circle. For radius r or diameter d=2r, C = 2πr = 2πd ... "

DISK (or DISC)

An n-dimensional disk (sometimes spelled "disc") of radius r is the collection of points of distance <=r (closed disk) or
"The n-disk for n>=3 is called a ball, and the boundary of the n-disk is a (n-1)-hypersphere. The standard n-disk, denoted D^n (or B^n), has its center at the origin and has radius r=1.

Poderia buscar essas definições de qualquer outro lugar respeitado, mas preferi o WOLFRAM
por considerar que esse fórum tem respeito ao mesmo.

Mas acredito que não precisemos dos outros para vermos e percebermos o óbvio.

Penso que Euclides, o geômetra, não o nosso Grão-Mestre Fundador, fosse inteligente o suficiente para, ao sintetizar e discursar sobre o conhecimento geométrico da época, em sua obra icônica, "Elementos", teria mudado o nome da entidade, caso pensasse não ser adequada. Mas não o fez...

ιεʹ. ΚΚύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾿ ἑνὸς thing.
σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν]
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν

15. A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another.

ιϛʹ. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

16. And the point is called the center of the circle.

ιζʹ. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦκέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη
ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.

17. A diameter of the circle is any straight line drawn through the center and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.

Excetuando-se Portugal, Brasil, Itália e Espanha, o resto do mundo inteiro não aceitou essa redefinição errônea, que tendo sido dada com argumentos falaciosos por certos grupelhos, foi aceita por outros grupos de indivíduos indolentes e incapazes.

Em todas as outras terras e culturas o CÍRCULO, como a ELIPSE, a PARÁBOLA a HIPÉRBOLE, o TRIÂNGULO, o QUADRADO, o HEXÁGONO,etc., sempre foi considerado a linha fechada, o conjunto de pontos que delimita, separa o seu interior do seu exterior.

A região em seu interior, reunida a sua linha é uma superfície, é uma região circular, ou mais propriamente, um DISCO.

A PERÍMETRO do CÍRCULO é a sua CIRCUNFERÊNCIA.

Etimologicamente, CÍRCULO é CERCA, é CIRCO. Algo que delimita, separa interior do exterior.

Etimologicamente, CIRCUNFERÊNCIA é a medida dessa CERCA.

Talvez, devido às particularidades do CÍRCULO, que, diferentemente de outros polígonos, pode ser visto como não tendo "LADOS" ou tendo "infinitos" lados, o seu perímetro, ou medida do CÍRCULO, ou CIRCUNFERÊNCIA, coincide mentalmente com a própria linha do CÍRCULO.

Então, por metonímia, é compreensível que as pessoas, no dia a dia, usem os dois termos indistintamente.

Imagine só, Mestre Élcio, se remanescentes do mesmo grupo falacioso agora quisessem mudar a pobre ELIPSE, ou o humilde QUADRADO, ou mesmo o simplório TRIÂNGULO, ou a gloriosa ESFERA ?!?!

Ainda bem que, devido as incapacidades óbvias deste grupelho, não conseguiram inventar sequer um nome para as infelizes "substiuições".

Mas o problema MESMO, é outro.

Não são detalhes de termos.

Mas a alienação da Universidade, da Academia, que deveria, por dever e ética, assumir realmente o seu papel na sociedade.

Certas "verdades" são implantadas nos atuais Ensino Fundamental e Médio, se proliferam e se perpetuam.

E a Academia nem está aí.

Tudo bem que os famigerados "livros didáticos do MEC" são e sempre foram centros de corrupção desavergonhada.

Mas cabe ao Educador e, principalmente, ao da Academia se rebelar contra o status quo e sempre repelir e rebater essas ditas "verdades" do ensino médio.

Vou lhe dar alguns exemplos:

(1) ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS em Física.

Isso é uma piada de mau gosto, repetida há mais de 3 séculos, quando não existia a Estatística como a temos hoje e há mais de um século atrás...

É ridículo que esse tópico esteja ainda presente em quase todos os livros do Ensino Médio.

(2) VETOR em Física, Álgebra Linear.

Em todo o mundo vetor tem SOMENTE duas características: MÓDULO e DIREÇÃO.

Nós não ! Agregamos, inventamos o SENTIDO, e o diferenciamos de seu sinônimo DIREÇÃO.

Basta definir o ângulo entre dois vetores corretamente e limitar seu domínio de 0° a 180°.

(3) pH NEGATIVO em Química

Porque não tem livros que falem sobre ?

(4) ESQUEMA DE LINUS PAULING em Química

Aquele que todo mundo decora, o tal dos "s-p-d-f"s.

Só no Brasil é chamado assim !

Em quase todo lugar do mundo é denominado de "Princípio Aufbau" ( do alemão: aufbau=construção, construir), ou ainda Regra de Madelung (França), ou de Klechkowski ( Rússia ).

Linus Pauling NUNCA inventou, usou ou escreveu esse método mnemônico para os níveis energéticos, nem que fosse num gaurdanapo de papel num bar qualquer !!!

Mas isso vai passando de geração a geração, de "autor" (eufemismo para plagiador de livros) a "autor" e, infelizmente, a Academia se cala, tampa olhos ouvidos e boca, e a besteira continua sendo repassada !

(5) RELAÇÔES DE GIRARD em Matemática-Polinômios

As relações são de Viète, também francês. Girard a expandiu para raízes reais, somente.

Pelo menos deveria ser de Viète-Girard...

(6) DIAGRAMAS DE VENN em Matemática

O próprio Venn chamava de "Círculos de Euler".

Apesar de serem conceitualmente distintos, os docentes de matemática dos Ensinos Fundamental e Médio, continuam confundindo um com o outro e chamando a ambos de DIAGRAMAS DE VENN.

A Academia tem reagido a esses absurdos sem a devida consistência, veemência e firmeza.

Mas cumpre a nós todos, docentes e discentes, de qualquer nível, pensarmos, refletirmos e não deixarmos inverdades, coisas ilógicas ganharem fôlego e se disseminar e se perpetuar.

Mas, mesmo se o mundo inteiro tivesse aceito a "redefinição" do círculo, eu continuaria a definí-lo da mesma forma de Euclides ( geômetra grego).

Como sempre escrevo BraZil com Z, ParaguaY, UruguaY e outras teimosias mais...

Saudações calorosas e teimosas,

E Vamos lá !.

Parceiro Werril,

Você não necessita saber decorado que o lado do hexágono regular inscrito num círculo tem seu lado de mesma medida que o raio desse círculo. É bom saber, pois poupa tempo, mas não é necessário.

Suponha que você trace uma corda AB, e que, por sorte sua, ela tem a medida do raio r.

Se você olhar para a figura, vai ver que os raios traçados, OA e OB, juntos com a sua corda sortuda formam um triângulo AOC, que tem os três lados iguais.

Aí, essa você sabe ! 



É um triângulo equilátero, conhecido também por equiângulo, porque tem os seus 3 ângulos iguais a 60°

Por definição, a medida de um arco é a medida do ângulo central que o subtende.

Então, Werril, a medida do arco AB também é de 60°.

Ao olhar para a figura, você pode notar que os pontos B'', B'''... satisfazem as exigências da questão:

"Cordas maiores que raio do círculo".

Bem, uma maneira simples de se definir probabilidade é:

Você calcular a razão entre a quantidade de coisas que você quer pela quantidade total de coisas que podem acontecer.

Por isso probabilidades sempre vão sempre ser um número de ZERO a UM.

O pessoal chama essas "coisas" de "eventos" pra ficar chique.

Pense comigo, agora. Pense em você sorteando bolinhas  numeradas de 1 a 360.

O pessoal chama isso de escolher ao acaso, aleatoriamente, randomicamente...

Mas a idéia é que você previamente não sabe que bola vai sair. Que evento vai acontecer, na linguagem chique.

Pelo o que dá pra ver pela figura, qualquer bolinha de 61 até 299 são os eventos que você quer, certo ?

Só não serve abaixo de 61 e acima de 299.

Então, pimba, é só calcular.  Mas, opa !!! Cuidado com a minha comparação!

Entre a bolinha 33 e a 34 não tem bolinha, mas entre 33º e 34º dizem que existem infinitos pontos !

Então uma coisa são as bolinhas, não há continuidade, há saltos de uma para outra, é dito descontínuo ou discreto.  Já nos graus não ! É contínuo.

Então pense  na faixa, no intervalo contínuo, como os pontos de um linha reta ou curva.

Um "x" "bom", seria um no intervalo aberto  (60° ; 300°) , certo ?  *Prefiro essa notação à ]60°;300°[

Quantos graus temos aí ? Dizem que é 300°-60°=240°

Pronto ! Basta dividirmos o número de eventos que queremos pelo número de eventos possíveis.

p(E) = n(E)/n(U) = 240°/360° = 2/3 = 0,666 666 ... ≈ 0,67 = 67/100 = 67%

Saudações eventuais !

E Vamos Lá

Muito obrigado Rihan!

Não sei o porquê, mas isso me fez despertar o que eu tinha perdido há um tempo... A vontade de pensar cada vez mais.

Sobre o problema, no começo parecia tão difícil, agora, extremamente fácil. Para mim, essa é uma ironia do conhecimento.

Que beleza !!!

Continue então assim, com enorme prazer em questionar, em pensar, em duvidar, em criticar construtivamente.

Isso, ninguém lhe tira, é tão eterno quanto você...
Importante é o "separador de orelhas" estar sempre ativo ! :rendeer:

E vamos lá !

Saudações prazeirosas !