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Função composta

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Mensagem por Jean1512 Sex 16 Set 2011, 00:24

Estou tentando resolver um problema de funções compostas, mas preciso confirmar uma informação.

Se uma dada função f(x) é polinomial, então sua composta f(f(x)) também o é:

f(x) = ax^n + bx^n-1 + ... + z

f(f(x)) = a(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n) + b(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n-1) + ... + z

=[a^(n+1)].x^(n^(2)) + ... + az^n + bz^(n-1) + ... + z

f(f(x)) é polinomial


OK.

Eu gostaria de saber se é válida a volta

Se f(f(x)) é polinomial, então f(x) também o é?


É possível demostrar a veracidade ou a não veracidade?


Grato!
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Mensagem por Elcioschin Sex 16 Set 2011, 09:36

Jean

Acredito que não

f[f(x)] = ax + b ----> f(x) = \/(ax + b) ---> Não é polinomial
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Mensagem por Jean1512 Sáb 17 Set 2011, 19:06

Elcio,

de fato, não necessariamente é polinomial. Se o grau do polinômio de f(f(x)) não for quadrado perfeito, é impossível que haja solução polinomial f(x).

f(f(x)) =ax^2 + bx + c

f(x) = \/(a)x^(\/(2)) + d
que não é polinomial.

E se eu formular dessa forma:

Se f(f(x)) é uma função polinomial do primeiro grau do tipo f(f(x)) = ax + b, existem duas funções do primeiro grau f(x) que são solução.

f(x)=\/(a)x + b/(\/(a) + 1)

f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)



f(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) = \/(a)(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) + b/(\/(a) + 1)

f(f(x))=ax + b(\/(a) + 1)/(\/(a) + 1)

f(f(x))= ax + b cqd

analogamente para
f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)
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Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 08:12

Prezado Mestre Elcioschin,

Creio ter havido uma pequena distração sua.

Pois, se

f(f(x)) = ax + b

f(x) ≠ √(ax + b) , bastando recompor a função para se verificar.

Mas sendo p = ±√a

f(x) = xp + b/(1+p), que é um polinômio.

E vamos lá !

Saudações atenciosas,

Rihan


Última edição por rihan em Dom 18 Set 2011, 16:28, editado 2 vez(es)

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Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 08:55

Se f(x) = Pn(x) ==> f(f(x)) = Pn²(x)

Exemplo:

f(x) = P3(x) = x³

f(f(x) = (x³)³ = x^9 = P3²(x)

Logo, se o polinômio Pn(x), n não for um quadrado de um Natural, ele não foi composto por um polinômio.

Em sendo, existe sempre um polinômio de ordem √n, embora seja trabalhoso se achar os coeficientes desse polinômio.

E vamos lá !

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Mensagem por Elcioschin Dom 18 Set 2011, 12:40

rihan

Permita-me discordar, pelos seguintes motivos:

1) Definição de Função Polinomial:

Dados um número natural n e os números complexos an, an-1, an-2 ....... a2, a1 e a0, donomina-se Função Polinomial ou Polinômio na variável Função composta Gif a função:

P(x) = an*x^n + an-1*x^(n-1) + an-2*x^(n-2) + ....... + a2*x^(n-2) + a1*x^(n-1) + a0


2) Suponhamos f(x) = x + 1 ----> f(f(x)) = (x + 1) + 1 ----> f(f(x)) = x + 2

Note que tanto f(x) quanto f(f(x)) são do 1º grau


3) Suponhamos f(x) = x² - 5x + 6 ----> f(f(x)) = (x² - 5x + 6)² - 5*(x² - 5x + 6) + 6 ---->

f(x) = (x^4 - 10*x³ + 37*x² - 60x + 36) + (-5x² + 25x - 30) + 6 ---> f(f(x)) = x^4 - 10*x³ + 32*x² - 35*x + 12

Note agora que f(x) é do 2º grau e f(f(x)) é do 4º grau


Assim, dado f(f(x)) de grau n, para existir f(x), n deve ser par senão o grau de f(x) deveria ser fracionário:

Por exemplo ----> f(f(x)) = x³ ------> f(x) deveria ter grau 3/2. Neste caso, pela definição acima f(x) não seria uma função polinomial (já que n não é natural) l!!!

Neste caso a dúvida do Jean estraia esclarecida:

Dada uma função polinomial composta f(f(x)) de grau n, só existe uma função polinomial f(x) se n = 1 ou n for par.

O que você acha?
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Mensagem por Jean1512 Dom 18 Set 2011, 13:56

Elcio,


que tal f(f(x)) do sexto grau?

f(f(x)) = a^(2)x^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx +g

f(f(x))=a^2(x)^6 + k'(x) , onde k'(x) é um polinômio.

Então a solução é algo parecido com:

f(x)=a.x^(√6) + k''(x) , onde k''(x) não é necessariamente um polinômio.

f(f(x))= a.(a.x^(√6) + k''(x))^(√6) + k''(a.x^(√6) + k''(x)

f(f(x))=a^2x^6 + k'(x) como esperado.

Suspeito que para que f(f(x)) ter solução polinomial, f(f(x)) deva ser de grau n quadrado perfeito como condição necessária não suficiente.

Exemplo: f(f(x)) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f(x)= p1x^2 + p2x + p3

f(f(x))=p1(p1x^2 + p2x + p3)^2 + p2(p1x^2 + p2x + p3) + p3

f(f(x))=p1(p1^2x^4 + p2^2x^2 + p3^2 +2(p1p2x^3 + p1p3x^2 + p2p3x)) + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3

f(f(x))=p1^3x^4 + p1p2^2x^2 + p1p3^2 +2p1^2p2x^3 + 2p1^2p3x^2 + 2p1p2p3x + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3

f(f(x))=(p1^3)x^4 +(2p1^2p2)x^3 + (p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2)x^2 + (2p1p2p3 + p2^2 )x + (p1p3^2 + p2p3 + p3)

Por igualdade polinomial:

p1^3 = a

2p1^2p2=b

p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2= c

2p1p2p3 + p2^2 =d

p1p3^2 + p2p3 + p3 =e

Resolvendo este (amigável? Very Happy Very Happy Very Happy ) sistema de 3 variáveis não linear é possível determinar f(x) se existirem p1,p2,p3 complexas que satisfaçam.
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Mensagem por Jean1512 Dom 18 Set 2011, 14:00

E
f(f(x)) = ax^9 + bx^8 +cx^7 + dx^6 + ex^5 + gx^4 +hx^3 + jx^2 + kx + m

Pode haver solução f(x) = p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4

f(f(x)) =p1(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^3 + p2(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^2 + p3(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4) + p4

que é uma função do 9º grau.

Vocês concordam?

Grande abraço ao Elcioschin e ao Rihan.
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Mensagem por rihan Dom 18 Set 2011, 17:07

Nobre Mestre Elcio,

Não compreendi o porquê ou onde está a discórdia.

Enviei duas mensagens:

1ª: A de 8:12 de 18/09/2011 ( que postei muito tempo após ter escrito, sem ter visto que o Jean também já havia lhe alertado para a sua distração).

Onde lhe falo sobre a referida distração ao você dar um contra-exemplo ao teorema converso, ou seja:

Teorema Recíproco: Se f(f(x)) é uma função polinomial , f(x) também o é.

Quando você lhe deu um contra-exemplo para abreviar o assunto, lhe deu um exemplo que continha o tal erro de distração, já que:

Se f(f(x)) = ax+b, a função g(x) = √(ax+b) , oferecida por você como contra-exemplo, não é f(x), que foi o que eu disse mais resumidamente:

" ................

f(f(x)) = ax+b

f(x) ≠ √(ax b) , bastando recompor a função para se verificar.

................."

Depois, assim como o Jean o fez, lhe dei quais as funções f(x) possíveis para invalidar seu contra-exemplo.

2ª: A de 8:55 de 18/09/2011

Nesse momento, já havia lido a mensagem do Jean, onde ele ressalta que a condição necessária era que, a partir do grau da função polinomial n>1 (obviamente, pois já havia demonstrado isso a você), só poderia haver solução para n "que fosse quadrado perfeito".

Eu quis explicitar e "melhorar" essa afirmação dele nessa minha segunda mensagem, não colocando as condições n>1 por ter achado que era óbvia para todos.

Então, quando me referi ao símbolo Pn, era para denotar uma função polinomial com n natural e maior do que 1, para reforçar o que Jean tinha dito sobre o grau da função fof ser "quadrado perfeito", já que obviamente o é para n=0 e, para n=1, tanto ele quanto eu já tínhamos lhe mostrado.

Se o n é natural, é redundante falarmos que é quadrado perfeito, e sendo f(x) uma função polinomial, necessariamente n é natural.

Nessa mensagem, como nas posteriores do Jean, tentamos ( mas não conseguimos... pale ) mostrar que, a partir de n>1, somente as funções polinomias de grau podem ser resultado de uma composição f(f(x)), sendo f(x) um função polinomial de grau n.

Ficariam assim, então, os teoremas para poder haver a reciprocidade:

Seja Pn(x) uma função polinomial onde n>1, então:

Pn(Pn(x)) <=> Qn²(x)

Resumindo, releie atentamente os seus posts e os nossos (meus e de Jean).

Abraços a todos também e

Vamos lá !


Saudações atentas,

Rihan

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Mensagem por Elcioschin Dom 18 Set 2011, 19:26

rhian e Jean

Concordo
Vou dar uma simplificada no assunto:

0) f(x) = c ----> f(f(x) = c ----> f(f(x) é do grau zero

1) f(x) = ax + b ----> f(f(x)) = a(ax + b) = a²x + ab ---> f(f(x)) é do 1º grau

2) f(x) = ax² + bx + c ----> f(f(x)) = a*(ax² + bx + c)² + b*(ax² + bx + c) + c ----> f(f(x) é do 4º grau

3) f(x) = ax³ + bx² + cx + d ---> f(f(x)) = a*(ax³ + bx³ + cx + d)³ + b*(ax³ + bx³ + cx² + d)² +

c*(ax³ + bx² + cx + d) + c ----> f(f(x) é do 9º grau

E assim por diante: Para f(x) do grau n > 0 ter-se-á f(f(x)) do grau n²

Logo as possíveis funções polinomiais compostas f(f(x)) somente existirão se n = 0, 1, 4, 9, 16, etc

Portanto, a conclusão: se f(f(x)) for DIFERENTE destes valores não existe função composta f(f(x))
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