Função composta
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Função composta
Estou tentando resolver um problema de funções compostas, mas preciso confirmar uma informação.
Se uma dada função f(x) é polinomial, então sua composta f(f(x)) também o é:
f(x) = ax^n + bx^n-1 + ... + z
f(f(x)) = a(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n) + b(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n-1) + ... + z
=[a^(n+1)].x^(n^(2)) + ... + az^n + bz^(n-1) + ... + z
f(f(x)) é polinomial
OK.
Eu gostaria de saber se é válida a volta
Se f(f(x)) é polinomial, então f(x) também o é?
É possível demostrar a veracidade ou a não veracidade?
Grato!
Se uma dada função f(x) é polinomial, então sua composta f(f(x)) também o é:
f(x) = ax^n + bx^n-1 + ... + z
f(f(x)) = a(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n) + b(ax^n + bx^n-1 + ... + z)^(n-1) + ... + z
=[a^(n+1)].x^(n^(2)) + ... + az^n + bz^(n-1) + ... + z
f(f(x)) é polinomial
OK.
Eu gostaria de saber se é válida a volta
Se f(f(x)) é polinomial, então f(x) também o é?
É possível demostrar a veracidade ou a não veracidade?
Grato!
Jean1512- Recebeu o sabre de luz
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Re: Função composta
Jean
Acredito que não
f[f(x)] = ax + b ----> f(x) = \/(ax + b) ---> Não é polinomial
Acredito que não
f[f(x)] = ax + b ----> f(x) = \/(ax + b) ---> Não é polinomial
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Função composta
Elcio,
de fato, não necessariamente é polinomial. Se o grau do polinômio de f(f(x)) não for quadrado perfeito, é impossível que haja solução polinomial f(x).
f(f(x)) =ax^2 + bx + c
f(x) = \/(a)x^(\/(2)) + d
que não é polinomial.
E se eu formular dessa forma:
Se f(f(x)) é uma função polinomial do primeiro grau do tipo f(f(x)) = ax + b, existem duas funções do primeiro grau f(x) que são solução.
f(x)=\/(a)x + b/(\/(a) + 1)
f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)
f(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) = \/(a)(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) + b/(\/(a) + 1)
f(f(x))=ax + b(\/(a) + 1)/(\/(a) + 1)
f(f(x))= ax + b cqd
analogamente para
f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)
de fato, não necessariamente é polinomial. Se o grau do polinômio de f(f(x)) não for quadrado perfeito, é impossível que haja solução polinomial f(x).
f(f(x)) =ax^2 + bx + c
f(x) = \/(a)x^(\/(2)) + d
que não é polinomial.
E se eu formular dessa forma:
Se f(f(x)) é uma função polinomial do primeiro grau do tipo f(f(x)) = ax + b, existem duas funções do primeiro grau f(x) que são solução.
f(x)=\/(a)x + b/(\/(a) + 1)
f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)
f(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) = \/(a)(\/(a)x + b/(\/(a) + 1)) + b/(\/(a) + 1)
f(f(x))=ax + b(\/(a) + 1)/(\/(a) + 1)
f(f(x))= ax + b cqd
analogamente para
f(x)= -\/(a)x + b/-(\/(a) + 1)
Jean1512- Recebeu o sabre de luz
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Re: Função composta
Prezado Mestre Elcioschin,
Creio ter havido uma pequena distração sua.
Pois, se
f(f(x)) = ax + b
f(x) ≠ √(ax + b) , bastando recompor a função para se verificar.
Mas sendo p = ±√a
f(x) = xp + b/(1+p), que é um polinômio.
E vamos lá !
Saudações atenciosas,
Rihan
Creio ter havido uma pequena distração sua.
Pois, se
f(f(x)) = ax + b
f(x) ≠ √(ax + b) , bastando recompor a função para se verificar.
Mas sendo p = ±√a
f(x) = xp + b/(1+p), que é um polinômio.
E vamos lá !
Saudações atenciosas,
Rihan
Última edição por rihan em Dom 18 Set 2011, 16:28, editado 2 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
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Re: Função composta
Se f(x) = Pn(x) ==> f(f(x)) = Pn²(x)
Exemplo:
f(x) = P3(x) = x³
f(f(x) = (x³)³ = x^9 = P3²(x)
Logo, se o polinômio Pn(x), n não for um quadrado de um Natural, ele não foi composto por um polinômio.
Em sendo, existe sempre um polinômio de ordem √n, embora seja trabalhoso se achar os coeficientes desse polinômio.
E vamos lá !
Exemplo:
f(x) = P3(x) = x³
f(f(x) = (x³)³ = x^9 = P3²(x)
Logo, se o polinômio Pn(x), n não for um quadrado de um Natural, ele não foi composto por um polinômio.
Em sendo, existe sempre um polinômio de ordem √n, embora seja trabalhoso se achar os coeficientes desse polinômio.
E vamos lá !
rihan- Estrela Dourada
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Idade : 69
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Re: Função composta
rihan
Permita-me discordar, pelos seguintes motivos:
1) Definição de Função Polinomial:
Dados um número natural n e os números complexos an, an-1, an-2 ....... a2, a1 e a0, donomina-se Função Polinomial ou Polinômio na variável a função:
P(x) = an*x^n + an-1*x^(n-1) + an-2*x^(n-2) + ....... + a2*x^(n-2) + a1*x^(n-1) + a0
2) Suponhamos f(x) = x + 1 ----> f(f(x)) = (x + 1) + 1 ----> f(f(x)) = x + 2
Note que tanto f(x) quanto f(f(x)) são do 1º grau
3) Suponhamos f(x) = x² - 5x + 6 ----> f(f(x)) = (x² - 5x + 6)² - 5*(x² - 5x + 6) + 6 ---->
f(x) = (x^4 - 10*x³ + 37*x² - 60x + 36) + (-5x² + 25x - 30) + 6 ---> f(f(x)) = x^4 - 10*x³ + 32*x² - 35*x + 12
Note agora que f(x) é do 2º grau e f(f(x)) é do 4º grau
Assim, dado f(f(x)) de grau n, para existir f(x), n deve ser par senão o grau de f(x) deveria ser fracionário:
Por exemplo ----> f(f(x)) = x³ ------> f(x) deveria ter grau 3/2. Neste caso, pela definição acima f(x) não seria uma função polinomial (já que n não é natural) l!!!
Neste caso a dúvida do Jean estraia esclarecida:
Dada uma função polinomial composta f(f(x)) de grau n, só existe uma função polinomial f(x) se n = 1 ou n for par.
O que você acha?
Permita-me discordar, pelos seguintes motivos:
1) Definição de Função Polinomial:
Dados um número natural n e os números complexos an, an-1, an-2 ....... a2, a1 e a0, donomina-se Função Polinomial ou Polinômio na variável a função:
P(x) = an*x^n + an-1*x^(n-1) + an-2*x^(n-2) + ....... + a2*x^(n-2) + a1*x^(n-1) + a0
2) Suponhamos f(x) = x + 1 ----> f(f(x)) = (x + 1) + 1 ----> f(f(x)) = x + 2
Note que tanto f(x) quanto f(f(x)) são do 1º grau
3) Suponhamos f(x) = x² - 5x + 6 ----> f(f(x)) = (x² - 5x + 6)² - 5*(x² - 5x + 6) + 6 ---->
f(x) = (x^4 - 10*x³ + 37*x² - 60x + 36) + (-5x² + 25x - 30) + 6 ---> f(f(x)) = x^4 - 10*x³ + 32*x² - 35*x + 12
Note agora que f(x) é do 2º grau e f(f(x)) é do 4º grau
Assim, dado f(f(x)) de grau n, para existir f(x), n deve ser par senão o grau de f(x) deveria ser fracionário:
Por exemplo ----> f(f(x)) = x³ ------> f(x) deveria ter grau 3/2. Neste caso, pela definição acima f(x) não seria uma função polinomial (já que n não é natural) l!!!
Neste caso a dúvida do Jean estraia esclarecida:
Dada uma função polinomial composta f(f(x)) de grau n, só existe uma função polinomial f(x) se n = 1 ou n for par.
O que você acha?
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Função composta
Elcio,
que tal f(f(x)) do sexto grau?
f(f(x)) = a^(2)x^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx +g
f(f(x))=a^2(x)^6 + k'(x) , onde k'(x) é um polinômio.
Então a solução é algo parecido com:
f(x)=a.x^(√6) + k''(x) , onde k''(x) não é necessariamente um polinômio.
f(f(x))= a.(a.x^(√6) + k''(x))^(√6) + k''(a.x^(√6) + k''(x)
f(f(x))=a^2x^6 + k'(x) como esperado.
Suspeito que para que f(f(x)) ter solução polinomial, f(f(x)) deva ser de grau n quadrado perfeito como condição necessária não suficiente.
Exemplo: f(f(x)) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f(x)= p1x^2 + p2x + p3
f(f(x))=p1(p1x^2 + p2x + p3)^2 + p2(p1x^2 + p2x + p3) + p3
f(f(x))=p1(p1^2x^4 + p2^2x^2 + p3^2 +2(p1p2x^3 + p1p3x^2 + p2p3x)) + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3
f(f(x))=p1^3x^4 + p1p2^2x^2 + p1p3^2 +2p1^2p2x^3 + 2p1^2p3x^2 + 2p1p2p3x + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3
f(f(x))=(p1^3)x^4 +(2p1^2p2)x^3 + (p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2)x^2 + (2p1p2p3 + p2^2 )x + (p1p3^2 + p2p3 + p3)
Por igualdade polinomial:
p1^3 = a
2p1^2p2=b
p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2= c
2p1p2p3 + p2^2 =d
p1p3^2 + p2p3 + p3 =e
Resolvendo este (amigável? ) sistema de 3 variáveis não linear é possível determinar f(x) se existirem p1,p2,p3 complexas que satisfaçam.
que tal f(f(x)) do sexto grau?
f(f(x)) = a^(2)x^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx +g
f(f(x))=a^2(x)^6 + k'(x) , onde k'(x) é um polinômio.
Então a solução é algo parecido com:
f(x)=a.x^(√6) + k''(x) , onde k''(x) não é necessariamente um polinômio.
f(f(x))= a.(a.x^(√6) + k''(x))^(√6) + k''(a.x^(√6) + k''(x)
f(f(x))=a^2x^6 + k'(x) como esperado.
Suspeito que para que f(f(x)) ter solução polinomial, f(f(x)) deva ser de grau n quadrado perfeito como condição necessária não suficiente.
Exemplo: f(f(x)) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f(x)= p1x^2 + p2x + p3
f(f(x))=p1(p1x^2 + p2x + p3)^2 + p2(p1x^2 + p2x + p3) + p3
f(f(x))=p1(p1^2x^4 + p2^2x^2 + p3^2 +2(p1p2x^3 + p1p3x^2 + p2p3x)) + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3
f(f(x))=p1^3x^4 + p1p2^2x^2 + p1p3^2 +2p1^2p2x^3 + 2p1^2p3x^2 + 2p1p2p3x + p1p2x^2 + p2^2x + p2p3 + p3
f(f(x))=(p1^3)x^4 +(2p1^2p2)x^3 + (p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2)x^2 + (2p1p2p3 + p2^2 )x + (p1p3^2 + p2p3 + p3)
Por igualdade polinomial:
p1^3 = a
2p1^2p2=b
p1p2^2 + 2p1^2p3 + p1p2= c
2p1p2p3 + p2^2 =d
p1p3^2 + p2p3 + p3 =e
Resolvendo este (amigável? ) sistema de 3 variáveis não linear é possível determinar f(x) se existirem p1,p2,p3 complexas que satisfaçam.
Jean1512- Recebeu o sabre de luz
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Re: Função composta
E
f(f(x)) = ax^9 + bx^8 +cx^7 + dx^6 + ex^5 + gx^4 +hx^3 + jx^2 + kx + m
Pode haver solução f(x) = p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4
f(f(x)) =p1(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^3 + p2(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^2 + p3(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4) + p4
que é uma função do 9º grau.
Vocês concordam?
Grande abraço ao Elcioschin e ao Rihan.
f(f(x)) = ax^9 + bx^8 +cx^7 + dx^6 + ex^5 + gx^4 +hx^3 + jx^2 + kx + m
Pode haver solução f(x) = p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4
f(f(x)) =p1(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^3 + p2(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4)^2 + p3(p1x^3 + p2x^2 + p3x + p4) + p4
que é uma função do 9º grau.
Vocês concordam?
Grande abraço ao Elcioschin e ao Rihan.
Jean1512- Recebeu o sabre de luz
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Re: Função composta
Nobre Mestre Elcio,
Não compreendi o porquê ou onde está a discórdia.
Enviei duas mensagens:
1ª: A de 8:12 de 18/09/2011 ( que postei muito tempo após ter escrito, sem ter visto que o Jean também já havia lhe alertado para a sua distração).
Onde lhe falo sobre a referida distração ao você dar um contra-exemplo ao teorema converso, ou seja:
Teorema Recíproco: Se f(f(x)) é uma função polinomial , f(x) também o é.
Quando você lhe deu um contra-exemplo para abreviar o assunto, lhe deu um exemplo que continha o tal erro de distração, já que:
Se f(f(x)) = ax+b, a função g(x) = √(ax+b) , oferecida por você como contra-exemplo, não é f(x), que foi o que eu disse mais resumidamente:
" ................
f(f(x)) = ax+b
f(x) ≠ √(ax b) , bastando recompor a função para se verificar.
................."
Depois, assim como o Jean o fez, lhe dei quais as funções f(x) possíveis para invalidar seu contra-exemplo.
2ª: A de 8:55 de 18/09/2011
Nesse momento, já havia lido a mensagem do Jean, onde ele ressalta que a condição necessária era que, a partir do grau da função polinomial n>1 (obviamente, pois já havia demonstrado isso a você), só poderia haver solução para n "que fosse quadrado perfeito".
Eu quis explicitar e "melhorar" essa afirmação dele nessa minha segunda mensagem, não colocando as condições n>1 por ter achado que era óbvia para todos.
Então, quando me referi ao símbolo Pn, era para denotar uma função polinomial com n natural e maior do que 1, para reforçar o que Jean tinha dito sobre o grau da função fof ser "quadrado perfeito", já que obviamente o é para n=0 e, para n=1, tanto ele quanto eu já tínhamos lhe mostrado.
Se o n é natural, é redundante falarmos que n² é quadrado perfeito, e sendo f(x) uma função polinomial, necessariamente n é natural.
Nessa mensagem, como nas posteriores do Jean, tentamos ( mas não conseguimos... ) mostrar que, a partir de n>1, somente as funções polinomias de grau n² podem ser resultado de uma composição f(f(x)), sendo f(x) um função polinomial de grau n.
Ficariam assim, então, os teoremas para poder haver a reciprocidade:
Seja Pn(x) uma função polinomial onde n>1, então:
Pn(Pn(x)) <=> Qn²(x)
Resumindo, releie atentamente os seus posts e os nossos (meus e de Jean).
Abraços a todos também e
Vamos lá !
Saudações atentas,
Rihan
Não compreendi o porquê ou onde está a discórdia.
Enviei duas mensagens:
1ª: A de 8:12 de 18/09/2011 ( que postei muito tempo após ter escrito, sem ter visto que o Jean também já havia lhe alertado para a sua distração).
Onde lhe falo sobre a referida distração ao você dar um contra-exemplo ao teorema converso, ou seja:
Teorema Recíproco: Se f(f(x)) é uma função polinomial , f(x) também o é.
Quando você lhe deu um contra-exemplo para abreviar o assunto, lhe deu um exemplo que continha o tal erro de distração, já que:
Se f(f(x)) = ax+b, a função g(x) = √(ax+b) , oferecida por você como contra-exemplo, não é f(x), que foi o que eu disse mais resumidamente:
" ................
f(f(x)) = ax+b
f(x) ≠ √(ax b) , bastando recompor a função para se verificar.
................."
Depois, assim como o Jean o fez, lhe dei quais as funções f(x) possíveis para invalidar seu contra-exemplo.
2ª: A de 8:55 de 18/09/2011
Nesse momento, já havia lido a mensagem do Jean, onde ele ressalta que a condição necessária era que, a partir do grau da função polinomial n>1 (obviamente, pois já havia demonstrado isso a você), só poderia haver solução para n "que fosse quadrado perfeito".
Eu quis explicitar e "melhorar" essa afirmação dele nessa minha segunda mensagem, não colocando as condições n>1 por ter achado que era óbvia para todos.
Então, quando me referi ao símbolo Pn, era para denotar uma função polinomial com n natural e maior do que 1, para reforçar o que Jean tinha dito sobre o grau da função fof ser "quadrado perfeito", já que obviamente o é para n=0 e, para n=1, tanto ele quanto eu já tínhamos lhe mostrado.
Se o n é natural, é redundante falarmos que n² é quadrado perfeito, e sendo f(x) uma função polinomial, necessariamente n é natural.
Nessa mensagem, como nas posteriores do Jean, tentamos ( mas não conseguimos... ) mostrar que, a partir de n>1, somente as funções polinomias de grau n² podem ser resultado de uma composição f(f(x)), sendo f(x) um função polinomial de grau n.
Ficariam assim, então, os teoremas para poder haver a reciprocidade:
Seja Pn(x) uma função polinomial onde n>1, então:
Pn(Pn(x)) <=> Qn²(x)
Resumindo, releie atentamente os seus posts e os nossos (meus e de Jean).
Abraços a todos também e
Vamos lá !
Saudações atentas,
Rihan
rihan- Estrela Dourada
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Re: Função composta
rhian e Jean
Concordo
Vou dar uma simplificada no assunto:
0) f(x) = c ----> f(f(x) = c ----> f(f(x) é do grau zero
1) f(x) = ax + b ----> f(f(x)) = a(ax + b) = a²x + ab ---> f(f(x)) é do 1º grau
2) f(x) = ax² + bx + c ----> f(f(x)) = a*(ax² + bx + c)² + b*(ax² + bx + c) + c ----> f(f(x) é do 4º grau
3) f(x) = ax³ + bx² + cx + d ---> f(f(x)) = a*(ax³ + bx³ + cx + d)³ + b*(ax³ + bx³ + cx² + d)² +
c*(ax³ + bx² + cx + d) + c ----> f(f(x) é do 9º grau
E assim por diante: Para f(x) do grau n > 0 ter-se-á f(f(x)) do grau n²
Logo as possíveis funções polinomiais compostas f(f(x)) somente existirão se n = 0, 1, 4, 9, 16, etc
Portanto, a conclusão: se f(f(x)) for DIFERENTE destes valores não existe função composta f(f(x))
Concordo
Vou dar uma simplificada no assunto:
0) f(x) = c ----> f(f(x) = c ----> f(f(x) é do grau zero
1) f(x) = ax + b ----> f(f(x)) = a(ax + b) = a²x + ab ---> f(f(x)) é do 1º grau
2) f(x) = ax² + bx + c ----> f(f(x)) = a*(ax² + bx + c)² + b*(ax² + bx + c) + c ----> f(f(x) é do 4º grau
3) f(x) = ax³ + bx² + cx + d ---> f(f(x)) = a*(ax³ + bx³ + cx + d)³ + b*(ax³ + bx³ + cx² + d)² +
c*(ax³ + bx² + cx + d) + c ----> f(f(x) é do 9º grau
E assim por diante: Para f(x) do grau n > 0 ter-se-á f(f(x)) do grau n²
Logo as possíveis funções polinomiais compostas f(f(x)) somente existirão se n = 0, 1, 4, 9, 16, etc
Portanto, a conclusão: se f(f(x)) for DIFERENTE destes valores não existe função composta f(f(x))
Elcioschin- Grande Mestre
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