(ITA) - logaritmos
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(ITA) - logaritmos
Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo
logk(xy) = 49
logk(x=z) = 44
Então, logk(xyz) é igual a
a) 52
b) 61
c) 67
d) 80
e) 97
logk(xy) = 49
logk(x=z) = 44
Então, logk(xyz) é igual a
a) 52
b) 61
c) 67
d) 80
e) 97
Paulo Testoni- Membro de Honra
- Mensagens : 3408
Data de inscrição : 19/07/2009
Idade : 76
Localização : Blumenau - Santa Catarina
Re: (ITA) - logaritmos
Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo
logk(xy) = 49
logk(x=z) = 44
Então, logk(xyz) é igual a
a) 52
b) 61
c) 67
d) 80
e) 97
Olá, Paulo, estou considerando que no lugar que assinalei em azul seja, na verdade, (x–z).
k^(49) = xy
xy = k^p + k^q
p + q = 49
Logo, deveremos ter:
p - ímpar
q - par
ou vice-versa.
Como q deve ser primo, só poderá ser igual a 2, único primo par.
Assim sendo,
q = 2
p = 49 - 2 = 47
donde virá,
x = k^2 ou k^47
y = k^47 ou k^2
Por outro lado,
x – z = 44
Então, x só poderá ser 47, ou seja, maior do que z; caso contrário, z teria que ser negativo, o que irá contrariar a informação que diz ser "real positivo".
Por conseguinte,
x – z = 44
47 – z = 44
z = 47 – 44 = 3
Concluindo:
x + y + z = 47 + 2 + 3 = 52
satisfazendo a equação:
k^52 = k^47 * k^2 * k^3
logk (k^47 * k^47 * k^3) = logk (xyz) = 47 + 2 + 3 = 52
Alternativa (a)
Que alguém confirme se seria isto mesmo... Obrigado!
logk(xy) = 49
logk(x=z) = 44
Então, logk(xyz) é igual a
a) 52
b) 61
c) 67
d) 80
e) 97
Olá, Paulo, estou considerando que no lugar que assinalei em azul seja, na verdade, (x–z).
k^(49) = xy
xy = k^p + k^q
p + q = 49
Logo, deveremos ter:
p - ímpar
q - par
ou vice-versa.
Como q deve ser primo, só poderá ser igual a 2, único primo par.
Assim sendo,
q = 2
p = 49 - 2 = 47
donde virá,
x = k^2 ou k^47
y = k^47 ou k^2
Por outro lado,
x – z = 44
Então, x só poderá ser 47, ou seja, maior do que z; caso contrário, z teria que ser negativo, o que irá contrariar a informação que diz ser "real positivo".
Por conseguinte,
x – z = 44
47 – z = 44
z = 47 – 44 = 3
Concluindo:
x + y + z = 47 + 2 + 3 = 52
satisfazendo a equação:
k^52 = k^47 * k^2 * k^3
logk (k^47 * k^47 * k^3) = logk (xyz) = 47 + 2 + 3 = 52
Alternativa (a)
Que alguém confirme se seria isto mesmo... Obrigado!
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
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