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(ITA) - logaritmos

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Mensagem por Paulo Testoni Qua 16 Set 2009, 14:53

Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo

logk(xy) = 49

logk(x=z) = 44
Então, logk(xyz) é igual a

a) 52

b) 61

c) 67

d) 80

e) 97
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(ITA) - logaritmos Empty Re: (ITA) - logaritmos

Mensagem por ivomilton Qui 17 Set 2009, 08:57

Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo

logk(xy) = 49
logk(x=z) = 44

Então, logk(xyz) é igual a
a) 52
b) 61
c) 67
d) 80
e) 97

Olá, Paulo, estou considerando que no lugar que assinalei em azul seja, na verdade, (x–z).

k^(49) = xy
xy = k^p + k^q
p + q = 49

Logo, deveremos ter:

p - ímpar
q - par

ou vice-versa.

Como q deve ser primo, só poderá ser igual a 2, único primo par.

Assim sendo,

q = 2
p = 49 - 2 = 47

donde virá,

x = k^2 ou k^47
y = k^47 ou k^2

Por outro lado,

x – z = 44

Então, x só poderá ser 47, ou seja, maior do que z; caso contrário, z teria que ser negativo, o que irá contrariar a informação que diz ser "real positivo".

Por conseguinte,

x – z = 44
47 – z = 44
z = 47 – 44 = 3

Concluindo:

x + y + z = 47 + 2 + 3 = 52

satisfazendo a equação:

k^52 = k^47 * k^2 * k^3

logk (k^47 * k^47 * k^3) = logk (xyz) = 47 + 2 + 3 = 52

Alternativa (a)

Que alguém confirme se seria isto mesmo... Obrigado!
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