[Resolvido]Lei dos Cossenos
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rihan
Euclides
aryleudo
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[Resolvido]Lei dos Cossenos
Demonstre a Lei dos Cossenos para um triângulo qualquer.
Última edição por aryleudo em Sáb 24 Set 2011, 20:52, editado 1 vez(es)
____________________________________________
"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."
Autor Desconhecido
aryleudo- Grande Mestre
- Mensagens : 2292
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Localização : Cascavel/CE - Brasil
Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Idade : 74
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Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Mestre Euclides,
Muito didático!
Parabéns.
Sucesso.
Aryleudo (Ary).
Muito didático!
Parabéns.
Sucesso.
Aryleudo (Ary).
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"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."
Autor Desconhecido
aryleudo- Grande Mestre
- Mensagens : 2292
Data de inscrição : 01/10/2009
Idade : 40
Localização : Cascavel/CE - Brasil
Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Mestres, adoro essa demonstração, que "mata" um monte de "Leis" com uma cajadada só !
Então, vamos lá:
U(a; b) e V(c; d) são dois vetores quaisquer no plano ℝ².
Definindo-se o Produto Escalar como:
U.V = ab + cd
Escolhendo-se um referencial apropriado, teremos:
Sejam os módulos |U|= U = √(a²+b²) e |V| = V = √(c² + d²)
Então:
U² = U.U e V² = V.V
a = Ucosβ
b = Usenβ
c = V
d = 0
Teremos:
U.V = ac + bd = UVcosβ
Seja S = U + V
S.S = (U+V).(U+V)
S² = U.U + V.V + 2U.V
S² = U² + V² + 2UVcosβ --> Resultante na "Regra do Paralelogramo"
Para darmos em função do ângulo α, sendo β = 180° - α, teremos:
S²= U² + V² + 2UVcos(180°-α)
S²= U² + V² - 2UVcosα --> "Lei dos Cossenos"
Se colocarmos o referencial na posição tradicional, teremos:
Onde:
a = Ucosφ
b = Usenφ
c = Vcosγ
d = Vsenγ
U.V = UVcosβ = UVcos(φ-γ) <-- (Anterior) (I)
U.V = ac + cd = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ (II)
Igualando-se (I) e (II)
UVcos(φ-γ) = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ
cos(φ-γ) = cosφ cosγ + senφ senγ --> "Cosseno da Diferença"
Daqui podemos tirar:
cos(φ-(-y)) = cosφ cos(-γ) + senφ sen(-γ)
cos(φ+γ) = cosφ.cosγ - senφ.senγ --> "Cosseno da Soma"
sen(φ+γ) = cos(90º-(φ+γ)) = cos((90°-φ)-γ)
sen(φ+γ) = cos(90°-φ) cosγ + sen(90°-φ) senγ
sen(φ+γ) = senφ.cosγ + cosφ.senγ --> "Seno da Soma"
sen(φ-γ) = senφ.cosγ - cosφ.senγ --> "Seno da Diferença"
e dos anteriores:
sen2φ = 2senφ.cosφ
cos2φ = cos²φ - sen²φ
Melhor parar por aqui...
Mas... segue mais um protesto:
Não consigo entender o porquê de não se ensinar os elementos de álgebra linear ou vetorial no ensino médio !!
Iria ajudar imensamente na:
Física: Produto Escalar em Trabalho; Produto Vetorial em Torque, Momento Angular, Eletricidade e Magnetismo)
Matemática: em Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares, Geometria Analítica, Plana e Espacial !!!
O que vocês pensam sobre isso ?
E vamos lá !
Saudações demonstrativas,
Rihan
Então, vamos lá:
U(a; b) e V(c; d) são dois vetores quaisquer no plano ℝ².
Definindo-se o Produto Escalar como:
U.V = ab + cd
Escolhendo-se um referencial apropriado, teremos:
Sejam os módulos |U|= U = √(a²+b²) e |V| = V = √(c² + d²)
Então:
U² = U.U e V² = V.V
a = Ucosβ
b = Usenβ
c = V
d = 0
Teremos:
U.V = ac + bd = UVcosβ
Seja S = U + V
S.S = (U+V).(U+V)
S² = U.U + V.V + 2U.V
S² = U² + V² + 2UVcosβ --> Resultante na "Regra do Paralelogramo"
Para darmos em função do ângulo α, sendo β = 180° - α, teremos:
S²= U² + V² + 2UVcos(180°-α)
S²= U² + V² - 2UVcosα --> "Lei dos Cossenos"
Se colocarmos o referencial na posição tradicional, teremos:
Onde:
a = Ucosφ
b = Usenφ
c = Vcosγ
d = Vsenγ
U.V = UVcosβ = UVcos(φ-γ) <-- (Anterior) (I)
U.V = ac + cd = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ (II)
Igualando-se (I) e (II)
UVcos(φ-γ) = UV cosφ cosγ + UV senφ senγ
cos(φ-γ) = cosφ cosγ + senφ senγ --> "Cosseno da Diferença"
Daqui podemos tirar:
cos(φ-(-y)) = cosφ cos(-γ) + senφ sen(-γ)
cos(φ+γ) = cosφ.cosγ - senφ.senγ --> "Cosseno da Soma"
sen(φ+γ) = cos(90º-(φ+γ)) = cos((90°-φ)-γ)
sen(φ+γ) = cos(90°-φ) cosγ + sen(90°-φ) senγ
sen(φ+γ) = senφ.cosγ + cosφ.senγ --> "Seno da Soma"
sen(φ-γ) = senφ.cosγ - cosφ.senγ --> "Seno da Diferença"
e dos anteriores:
sen2φ = 2senφ.cosφ
cos2φ = cos²φ - sen²φ
Melhor parar por aqui...
Mas... segue mais um protesto:
Não consigo entender o porquê de não se ensinar os elementos de álgebra linear ou vetorial no ensino médio !!
Iria ajudar imensamente na:
Física: Produto Escalar em Trabalho; Produto Vetorial em Torque, Momento Angular, Eletricidade e Magnetismo)
Matemática: em Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares, Geometria Analítica, Plana e Espacial !!!
O que vocês pensam sobre isso ?
E vamos lá !
Saudações demonstrativas,
Rihan
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Rihan,
Muito grato pelo sua demonstração!
Você aprofundou consideravelmente a demonstração!
Sucesso,
Aryleudo (Ary).
Muito grato pelo sua demonstração!
Você aprofundou consideravelmente a demonstração!
Sucesso,
Aryleudo (Ary).
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"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."
Autor Desconhecido
aryleudo- Grande Mestre
- Mensagens : 2292
Data de inscrição : 01/10/2009
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Localização : Cascavel/CE - Brasil
Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Agradeço !
Mas, e quanto ao meu protesto ?
Qual o porquê de não se dar DUAS HORAS de introdução à Álegebra Linear ( ou Vetorial ) e poupar centenas ou mesmo milhares de horas ?????
Mas, e quanto ao meu protesto ?
Qual o porquê de não se dar DUAS HORAS de introdução à Álegebra Linear ( ou Vetorial ) e poupar centenas ou mesmo milhares de horas ?????
Última edição por rihan em Dom 18 Set 2011, 17:55, editado 1 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
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Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Bom Rihan, aqui no colégio nós tivemos uma noção. Principalmente quando o professor começou geometria analítica e fizemos muitas questões por produto escalar.
Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Beleza !
Mas como já falamos, o seu Colégio é diferenciado ( e pra melhor ...).
E o resto desse Brasilzão todo ?
Mas como já falamos, o seu Colégio é diferenciado ( e pra melhor ...).
E o resto desse Brasilzão todo ?
rihan- Estrela Dourada
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Re: [Resolvido]Lei dos Cossenos
Rihan,
Eu acho muito legal o cara aprender essas coisas, mas pense comigo, será que todas as pessoas realmente querem aprender isso ? Isso vai ser útil para a vida delas ? No ENEM tem alguma probabilidade de isso cair algum dia ?
Acho que é assim que a maioria das escolas pensam.
Eu acho muito legal o cara aprender essas coisas, mas pense comigo, será que todas as pessoas realmente querem aprender isso ? Isso vai ser útil para a vida delas ? No ENEM tem alguma probabilidade de isso cair algum dia ?
Acho que é assim que a maioria das escolas pensam.
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