(ITA) Função Modular Logaritmica
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(ITA) Função Modular Logaritmica
Um subconjunto D de tal que a função , definida por é injetora, é dado por .
- Spoiler:
- Gabarito : C
Convidado- Convidado
Re: (ITA) Função Modular Logaritmica
Para f ser injetora para qualquer y = f(x) , só um e somente um x me leva a este y. Simbolicamente:
Se f é injetora => se y= f(x1) e y= f(x2) ==> x1 = x2
Seja g(x) = x² - x + 1
1 ) Concavidade
a > 0 ==> Concavidade para cima (parábola "sorrindo")
==> Vértice é um mínimo
2 ) Delta
b² -4ac = 1 - 4 = -3 ==> Não há raízes reais ( não corta eixo X )
3 ) Vértice
xv = -b/2a = 1/2
f(xv) = 1/4 - 1/ 2 + 1 = 3/4
Ponto V(1/2; 3/4)
4 ) Sinal de g(x)
g(x) é sempre positiva (vide gráfico) .
5 ) Se g(x) > 0 então |g(x)| = g(x) , isto é, podemos "tirar" g(x) da função módulo
6 ) g(x) é simétrica em relação ao eixo da parábola que passa pelo vérice, ou seja, para um mesmo valor de y haverá um par de "x" associados, o que configura g(x) NÃO INJETORA.
7 ) f ( g(x) ) se comportará da mesma forma.
8 ) Se restringirmos o domínio para qualquer subconjunto de x>= 1/2 ou x <= 1/2 ( o x do vértice ) conseguiremos eliminar a simetria e conseqüuente duplicidade, atingindo ao que se pede, ou seja, para cada y = f(x) só um x haverá, ou à esquerda ou á direita do vértice, ou seja, lado direito ou esquerdo da parábola.
9) Logo, a opção C = { x | 0 <= x <= 1/2 } está contida em um dos dois conjuntos possíveis e satisfaz às condições.
E vamos lá !
Se f é injetora => se y= f(x1) e y= f(x2) ==> x1 = x2
Seja g(x) = x² - x + 1
1 ) Concavidade
a > 0 ==> Concavidade para cima (parábola "sorrindo")
==> Vértice é um mínimo
2 ) Delta
b² -4ac = 1 - 4 = -3 ==> Não há raízes reais ( não corta eixo X )
3 ) Vértice
xv = -b/2a = 1/2
f(xv) = 1/4 - 1/ 2 + 1 = 3/4
Ponto V(1/2; 3/4)
4 ) Sinal de g(x)
g(x) é sempre positiva (vide gráfico) .
5 ) Se g(x) > 0 então |g(x)| = g(x) , isto é, podemos "tirar" g(x) da função módulo
6 ) g(x) é simétrica em relação ao eixo da parábola que passa pelo vérice, ou seja, para um mesmo valor de y haverá um par de "x" associados, o que configura g(x) NÃO INJETORA.
7 ) f ( g(x) ) se comportará da mesma forma.
8 ) Se restringirmos o domínio para qualquer subconjunto de x>= 1/2 ou x <= 1/2 ( o x do vértice ) conseguiremos eliminar a simetria e conseqüuente duplicidade, atingindo ao que se pede, ou seja, para cada y = f(x) só um x haverá, ou à esquerda ou á direita do vértice, ou seja, lado direito ou esquerdo da parábola.
9) Logo, a opção C = { x | 0 <= x <= 1/2 } está contida em um dos dois conjuntos possíveis e satisfaz às condições.
E vamos lá !
Última edição por rihan em Sex 16 Set 2011, 13:25, editado 1 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
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Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
AGORA CORRETA ( Estou de óculos...)
Gabriel,
Ao rever a questão e as respostas após a opção C, reparei que a opção E onde E = { x >= 1/2 } também seria válida.
Aí percebi que tinha copiado erroneamente a função f(x) ...
Fiz a questão para f(x) = ln | x² - x + 1| quando a função da questão
era de fato f(x) = | ln ( x² - x + 1 ) |
O que faz o gráfico anterior incorreto, já que na correta f(x), a parte negativa fica rebatida, conforme novo gráfico que se segue, fica claro que somente a opção C está correta:
Agora sim, a ÚNICA correta é a C
Ao rever a questão e as respostas após a opção C, reparei que a opção E onde E = { x >= 1/2 } também seria válida.
Aí percebi que tinha copiado erroneamente a função f(x) ...
Fiz a questão para f(x) = ln | x² - x + 1| quando a função da questão
era de fato f(x) = | ln ( x² - x + 1 ) |
O que faz o gráfico anterior incorreto, já que na correta f(x), a parte negativa fica rebatida, conforme novo gráfico que se segue, fica claro que somente a opção C está correta:
Agora sim, a ÚNICA correta é a C
rihan- Estrela Dourada
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