Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
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Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Há 99 moedas.
Não há qualquer diferença visual entre elas.
Há uma moeda falsa entre elas.
Não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada do que qualquer uma verdadeira, as quais pesam a mesma coisa cada. Sabe-se somente que seu peso é distinto do de uma verdadeira.
Há uma balança simples de 2 pratos e um lápis.
Pede-se:
(a) O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira.
(b) A descrição do experimento.
Não há qualquer diferença visual entre elas.
Há uma moeda falsa entre elas.
Não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada do que qualquer uma verdadeira, as quais pesam a mesma coisa cada. Sabe-se somente que seu peso é distinto do de uma verdadeira.
Há uma balança simples de 2 pratos e um lápis.
Pede-se:
(a) O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira.
(b) A descrição do experimento.
rihan- Estrela Dourada
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
• Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 49 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa.
------- Observamos que os pratos têm massas diferentes, mas como não sabemos se o peso da moeda falsa é maior ou menor que a original, teremos que repetir o experimento separadamente com os dois pratos.
Repetição:
• Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 24 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que ou a moeda retirada é falsa ou a moeda falsa está no outro monte de 24 moedas. Para descobrir se a moeda falsa foi a retirada, pegue qualquer moeda do monte utilizado, se a balança desequilibrar saberemos que ela é falsa e seu peso em relação a outra moeda.
------- Se a balança desequilibrar significa que a moeda falsa está entre esse monte, então continuamos a repetir o procedimento com esse monte.
• E assim continua o experimento...
_________________________________
(a) Esse problema envolve sorte, e sabemos que o menor número de pesagens para descobrir a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve que a verdadeira precisamos de no mínimo dois experimentos.
Observação: Para esse experimento, precisamos de atenção e espaço para não misturar as moedas.
" • Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 49 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa."
Se ela for falsa, basta pegar qualquer outra moeda e pesar novamente. Assim, descobriremos o peso da moeda falsa em relação à verdadeira.
(b) Descrição feita inicialmente.
_________________________________
Não entendi o motivo de ter um lápis... Ainda estou pensando sobre ele.
Aguardo comentários, obrigado.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa.
------- Observamos que os pratos têm massas diferentes, mas como não sabemos se o peso da moeda falsa é maior ou menor que a original, teremos que repetir o experimento separadamente com os dois pratos.
Repetição:
• Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 24 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que ou a moeda retirada é falsa ou a moeda falsa está no outro monte de 24 moedas. Para descobrir se a moeda falsa foi a retirada, pegue qualquer moeda do monte utilizado, se a balança desequilibrar saberemos que ela é falsa e seu peso em relação a outra moeda.
------- Se a balança desequilibrar significa que a moeda falsa está entre esse monte, então continuamos a repetir o procedimento com esse monte.
• E assim continua o experimento...
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(a) Esse problema envolve sorte, e sabemos que o menor número de pesagens para descobrir a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve que a verdadeira precisamos de no mínimo dois experimentos.
Observação: Para esse experimento, precisamos de atenção e espaço para não misturar as moedas.
" • Tire uma moeda (deixe-a de lado) e coloque 49 moedas em cada prato.
------- Se a balança não desequilibrar significa que a moeda retirada, por sorte, é a falsa."
Se ela for falsa, basta pegar qualquer outra moeda e pesar novamente. Assim, descobriremos o peso da moeda falsa em relação à verdadeira.
(b) Descrição feita inicialmente.
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Não entendi o motivo de ter um lápis... Ainda estou pensando sobre ele.
Aguardo comentários, obrigado.
Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
O lápis é para escrever...
Escrever para facilitar identificação.
Quando se pensa é sempre bom. Independente do resultado.
Procure pensar em simetrias.
E vamos lá !
Escrever para facilitar identificação.
Quando se pensa é sempre bom. Independente do resultado.
Procure pensar em simetrias.
E vamos lá !
rihan- Estrela Dourada
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Consegui com 6 pesagens (sem lápis):
____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Verdade... era mais fácil dividir em 3 partes.
Muito bom, Mestre Euclides!
Dúvida:
"Pede-se: O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira."
Essa pergunta pede uma resposta independente de sorte?
Muito bom, Mestre Euclides!
Dúvida:
"Pede-se: O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira."
Essa pergunta pede uma resposta independente de sorte?
Última edição por Werill em Dom 30 Out 2011, 16:34, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Erro ortográfico)
Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Dúvida:
"Pede-se: O número mínimo de pesagens para se descobrir com absoluta certeza a moeda falsa e se ela é mais pesada ou mais leve do que uma verdadeira."
Essa pergunta pede um resposta independente de sorte?
Com toda certeza. O rihan certamente não nos propôs um jogo de azar.
____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Muito Bom Venerável Mestre Euclides !
Adorei os copinhos RGB !
Foi sem lápis, mas com copinhos... !
Mas o número mínimo é 5, isto é, com 5 pesadas podemos determinar com certeza absoluta qual a moeda falsa e se pesa mais ou menos.
Lembre-se de que podemos identificar as moedas com o lápis.... :idea: , numerando-as, por exemplo.
Saudações esperançosas !
E Vamos Lá !
Adorei os copinhos RGB !
Foi sem lápis, mas com copinhos... !
Mas o número mínimo é 5, isto é, com 5 pesadas podemos determinar com certeza absoluta qual a moeda falsa e se pesa mais ou menos.
Lembre-se de que podemos identificar as moedas com o lápis.... :idea: , numerando-as, por exemplo.
Saudações esperançosas !
E Vamos Lá !
Última edição por rihan em Seg 31 Out 2011, 06:43, editado 1 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Umas dicas, pra quem quiser...
Para quem gosta de brincar com menos moedas... ( até 15 em 3 pesagens) ! http://www.mapsofconsciousness.com/12coins/
Euclides, neste link, para quantidades acima de 12 em 3 pesagens, temos que usar probabilidades... interessante !
- Spoiler:
Com 1 moeda não haveria o problema...
Com 2 moedas, seria impossível resolver o problema...
Com 3 ou mais moedas, dá pra resolver.
Para qualquer uma delas nós temos 2 "desinformações", isto é, não sabemos se ela pesa mais ou menos.
Logo, 3 moedas nós dá o total de 3*2 = 6 "desinformações".
Uma pesada na balança nos dá 3 informações:
(1) Equilíbrio (0);
(2) Pender para o lado esquerdo (-1), indicando que o que está à esquerda pesa mais do que o que está à direita;
(3) Pender para o lado direito(+1), indicando o contrário do anterior.
Temos 6 "desinformações" para matar com 3 informações, não dá
Duas pesadas nos fornece no máximo 3*3 = 9 informações:1ª 2ª 1 1 1 0 1 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 1 -1 0 -1 -1
Oba ! !
Temos 6 "desinformações" para matar com 9 informações, legal :bom: !
Então, com 2 pesadas podemos achar a falsa e determinar se pesa mais ou menos !
E agora, como executar o experimento ?
É interessante haver o mesmo número de moedas em cada prato...
Também é muito interessante dividirmos as moedas em grupos com a mesma quantidade de moedas.
Essa simetria é estabelecida para termos a mesma probabilidade, em cada grupo, de encontrarmos a moeda falsa .
Teremos 3 "grupos" de uma moeda.
Vamos numerar as moedas: 1, 2 e 3.
E executar duas pesadas conforme o seguinte desenho:
1ª: 1 x 2
2ª: 1 x 3
Onde o "x" representa "contra", "versus" ...
Podemos raciocinar, é sempre bom usar o separador de orelhas ...
Das "informações" possíveis, o resultado (0; 0), com esse desenho e questão, não pode acontecer, pois indicaria que todas as moedas têm peso iguais, o que contrariaria a questão.
Os resultados (-1; 1) e (1; -1) também são impossíveis de acontecer com esse desenho e questão.
Vejamos, e.g. o resultado (-1; 1):
A primeira pesada pendeu para esquerda, indicando que a moeda 3 é verdadeira. Também nos diz que a falsa ou é a 1 e pesa mais, ou é a 2 e pesa menos.
Mas a 2ª pesada nos diz que a moeda 1 é diferente da 3, logo a 1 é falsa (já que a 3 é verdadeira...), mas agora pesa menos ! Opa ! Não pode !
Verificaríamos, de maneira análoga, que a saída (1; -1) também é impossível.
Perdemos 3 das 9 "informações" possíveis. Temos agora 6. Beleza ! Empate !
Podemos agora descobrir facilmente a moeda falsa e se pesa mais ou menos que as verdadeiras !!! :bounce: !!!
Como ? Como é ???
Isso mesmo !!!
Vejamos:1ª 2ª Resposta 1 1 1, pesa – -1 -1 1, pesa + -1 0 2, pesa – 1 0 2, pesa + 0 -1 3, pesa – 0 1 3, pesa +
Metodificando, somente com os resultados "pesa +":1ª 2ª Resposta -1 -1 1, pesa + 1 0 2, pesa + 0 1 3, pesa +
Se acontecer o "negativo" do resultado ( multiplicado por -1), então "pesa –" !
Mas, o melhor estar por vir !!!
Podemos olhar a "informação das informações" de OUTRA maneira:
(-1; -1) = Qual moeda estava na 1ª pesada e estava na 2ª pesada ? A 1 !
(1; 0) = Qual moeda estava na 1ª pesada e não estava na 2ª pesada ? A 2 !
(0; 1) = Qual moeda não estava na 1ª pesada e estava na 2ª pesada ? A 3 !
Podemos agora induzir para 9...
Desinformação: 9*2 = 18
Informação: 3¹ = 3, não dá; 3² = 9, não dá; 3³ = 27 está bom !
Necessitamos de 3 pesagens !!!
Três grupos de 3.
Desenho:
1ª: 1 2 3 x 4 5 6
2ª: 1 2 3 x 7 8 9
Notar que, após estas pesagens, já sabemos em qual grupo a falsa se encontra e se pesa mais ou menos...
Então, agora, temos que comparar 2 novos grupos de 3 moedas cada, cada um contendo UMA moeda dos 3 primeiros grupos iniciais. Por exemplo:
3ª: 1 4 7 x 2 5 8
Suponhamos que o resultado fosse:
(1; 0; 0) = Qual moeda estava na 1ª e não estava nas outras ? A 6 e pesa + !
Ou:
(1; 1; 1) = Qual moeda estava na 1ª , na 2ª e na 3ª ? A 1 e pesa – !
Podemos induzir para 12...
Agora temos a mais as moedas 10, 11 e 12.
Desinformação: 12*2 = 24
Informação: 3³ = 27
Três pesagens.
3 grupos de 4 inicialmente.
Desenho:
Mantenho o anterior e acrescento as moedas 10, 11 e 12 com jeitinho...
Por exemplo, um desenho possível:
1 2 3 10 x 4 5 6 11
1 2 3 11 x 7 8 9 10
1 4 7 10 x 2 5 8 12
Suponhamos os resultados:
(1; 0; 0) = Qual moeda estava na 1ª e não estava nas outras ? A 6 e pesa + !
(0; 0; -1) =Qual moeda estava na 3ª e não estava nas outras ? A 12 e pesa – !
(1; 1; 1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 1 e pesa - !
(-1; -1; -1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 1 e pesa + !
(-1; 1; -1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 10 e pesa + !
(1; -1; 1) = Qual moeda estava em todas as pesadas ? A 10 e pesa - !
E aí vai. Perceber que o jeitinho com a 10... a 11 e a 12 foi o de aproveitar "aquelas" informações antes "impossíveis", mas, agora, em virtude do desenho proposto, possíveis...
Podemos continuar nossa indução para 99 !
Desinformação: 99*2 = 198
Informação: 3¹ = 3, não dá; 3² = 9, não dá; 3³ = 27, não dá; 3^4 = 81, não dá; 3^5 = 243 está bom !
Cinco pesagens.
Três grupos de 33, inicialmente
Desenho:
Agora é um tempo pra vocês !!! :bounce: !!! :face: :twisted:
E Vamos Lá !!!
Saudações entrópicas !
OBSERVAÇÕES:
1) O pessoal gosta de chamar de ENTROPIA ao logaritmo em uma base escolhida ( no nosso caso: 3) do que chamei de "desinformação"...
2) NOTAR QUE PODEMOS INVERTER A ORDEM DAS PESAGENS COMO BEM DESEJARMOS ...!
Para quem gosta de brincar com menos moedas... ( até 15 em 3 pesagens) ! http://www.mapsofconsciousness.com/12coins/
Euclides, neste link, para quantidades acima de 12 em 3 pesagens, temos que usar probabilidades... interessante !
Última edição por rihan em Seg 31 Out 2011, 14:08, editado 1 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
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Re: Moeda Falsa - Balança - Entropia - Informação - Projeto de Experimentos
Se refletirmos sobre esse problema, muitas coisas surgirão...
A primeira delas, que é muito interessante, é como as pessoas representam o problema.
Como esse tipo de problema não nos é "ensinado na escola", cada um se vira como pode e representa como quer.
Chegar a uma boa representação é muito importante na resolução de problemas.
Descobrir analogias para áreas onde nos "sentimos à vontade" também é ótimo !
Mas, para mim, o principal que percebo: como é maravilhoso "esquentar o separador de orelhas" !!! !!!
Todos que "esquentam", com esforço, natruralmente, começam a perceber a sua própria evolução. Começam a se adaptar rapidamente às novas situações, a fazer analogias, a, finalmente, começar a fazer um bom uso desse milagre que é o nosso cérebro !
Começamos a sentir, a perceber que realmente a vida é um milagre !
A ter certeza, quase indutiva, em Algo maior !
Saudações à vida !
A primeira delas, que é muito interessante, é como as pessoas representam o problema.
Como esse tipo de problema não nos é "ensinado na escola", cada um se vira como pode e representa como quer.
Chegar a uma boa representação é muito importante na resolução de problemas.
Descobrir analogias para áreas onde nos "sentimos à vontade" também é ótimo !
Mas, para mim, o principal que percebo: como é maravilhoso "esquentar o separador de orelhas" !!! !!!
Todos que "esquentam", com esforço, natruralmente, começam a perceber a sua própria evolução. Começam a se adaptar rapidamente às novas situações, a fazer analogias, a, finalmente, começar a fazer um bom uso desse milagre que é o nosso cérebro !
Começamos a sentir, a perceber que realmente a vida é um milagre !
A ter certeza, quase indutiva, em Algo maior !
Saudações à vida !
rihan- Estrela Dourada
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